Thème : ARITHMETIQUE

Série concernée : S

Enoncé
Promenade parmi les nombres
On part du nombre 5 et on s’autorise à utiliser deux opérateurs :

• L’opérateur (M) « multiplier par 2 » : \(n\mapsto 2 \times n\)
• L’opérateur (R) « retrancher 3 » : \(n \mapsto n-3\).

Un entier naturel \(N\) est dit admissible s’il est possible, en partant de 5 et en
n’utilisant que les deux opérateurs ci-dessus, de parvenir en un certain nombre
d’étapes au nombre $$\(N\).
Par exemple 25 est admissible par le chemin à cinq étapes :
$$

$$5 \stackrel{M}{\longrightarrow} 10 \stackrel{R}{\longrightarrow}7 \stackrel{M}{\longrightarrow} 14 \stackrel{M}{\longrightarrow} 28 \stackrel{R}{\longrightarrow}25$$

On considérera par convention que 5 est admissible (chemin avec 0 étape)

1. Quels sont les entiers naturels admissibles en au plus 3 étapes ?
2. Montrer que 11, 13, 16 et 19 sont aussi admissibles.
3. Certains entiers naturels sont non admissibles : lesquels ? Justifier.
4. Montrer que 2 009 est admissible en présentant une méthode permettant de trouver le chemin menant de 5 à 2 009 (une telle méthode est aussi appelée algorithme).