BESANCON - Exercice n° 1
Thème : ARITHMETIQUE
Série concernée : S
Enoncé
Promenade parmi les nombres
On part du nombre 5 et on s’autorise à utiliser deux opérateurs :
- L’opérateur (M) « multiplier par 2 » : $n\mapsto 2 \times n$
- L’opérateur (R) « retrancher 3 » : $n \mapsto n-3$.
Un entier naturel $N$ est dit admissible s’il est possible, en partant de 5 et en
n’utilisant que les deux opérateurs ci-dessus, de parvenir en un certain nombre
d’étapes au nombre $N$.
Par exemple 25 est admissible par le chemin à cinq étapes :
$$5 \stackrel{M}{\longrightarrow} 10 \stackrel{R}{\longrightarrow}7 \stackrel{M}{\longrightarrow} 14 \stackrel{M}{\longrightarrow} 28 \stackrel{R}{\longrightarrow}25$$
On considérera par convention que 5 est admissible (chemin avec 0 étape)
- Quels sont les entiers naturels admissibles en au plus 3 étapes ?
- Montrer que 11, 13, 16 et 19 sont aussi admissibles.
- Certains entiers naturels sont non admissibles : lesquels ? Justifier.
- Montrer que 2 009 est admissible en présentant une méthode permettant de trouver le chemin menant de 5 à 2 009 (une telle méthode est aussi appelée algorithme).