Gérard Kuntz [1]

L’histoire qui suit a valeur de parabole. Les personnages qu’elle met en scène ne sont
pas destinés à être plaints, loués ou stigmatisés. Ils sont emblématiques de situations
qui les dépassent et qu’ils contribuent simplement à faire sortir de l’ombre, en vue de
notre progrès commun.

A. est arrivée en France il y a quatre ans. En quelques mois, elle a appris le français
et l’ensemble des connaissances enseignées en Quatrième dans nos Collèges. La
« rage d’apprendre » et la forte mobilisation des professeurs en sa faveur en ont fait
une des meilleures élèves de sa classe en fin d’année. En Troisième, elle a si bien
consolidé les acquis que ses professeurs ont ciselé un dossier d’excellence pour la
faire admettre dans une classe très sélective d’un « lycée-phare » de son académie.
Elle dut se contenter d’une « bonne Seconde », la classe phare étant prise d’assaut
par des élèves de toute la région.

J’ai aidé A. durant ses années de Collège. C’était alors une élève qui voulait à tout
prix comprendre. « Tu m’aides à trouver, tu ne me dis pas la solution [2]
 » était une
expression favorite. Elle ne lâchait prise qu’après avoir fait le tour d’une question.
C’était un plaisir rare de travailler avec une élève d’une telle intelligence et d’une
aussi forte détermination.

En Seconde, le rythme s’accéléra dans toutes les disciplines. La fréquence des
« contrôles » devint pesante. Insensiblement, les préoccupations d’A. glissèrent du
désir de comprendre vers l’obsession de réussir les interrogations écrites. Nos
séances tournèrent de plus en plus à des interventions d’urgence (comment fait-on
dans tel cas, que répondre dans tel autre ?) au détriment de la maîtrise des notions.
Bien sûr, les résultats faiblirent et A. se mit à « somatiser » : maux de tête, de ventre,
angoisses. Malgré cela, au prix de mille sacrifices et d’interminables heures de
travail, elle réussit à se maintenir au contact des « meilleurs », si bien qu’elle eut droit
à la Première scientifique « d’excellence » dont elle rêvait.

La dégringolade s’accéléra. Il y avait tant de choses à faire dans toutes les matières,
qu’il n’était plus question de s’offrir le luxe de réfléchir. Elle apprit à faire un devoir
de français sans lire l’œuvre de référence (profil d’œuvre et Internet suffisent
amplement). Aujourd’hui, face à un problème de maths, elle avoue se demander
« quelle formule appliquer ». Le plaisir d’apprendre a disparu. Elle travaille sans
arrêt, avec une productivité déclinante.

L’autre jour, elle m’envoya un courriel de demande d’aide, comme de coutume. Le
voici, « copier/coller » de l’original :

Pb : énoncé exactement comme dans le livre [3].
3 nbres a,b,c pris dans cet ordre, ne sont ni en progression arith ni géo ; démontrez
qu’il existe un unique réel x non nul tel que (a+x), (b+x) et (c+x) pris dans cet ordre
sont en progression géo [4].
Je voudrais une idée pour commencer ;
mon idée est : faire $(b+x)^2=(a+x)(c+x)$
j’obtiens $b^2+(2b-a-c)x-ac$ ;
racine de delta=a+b+c-2racine (ab-bc)+racine(6ac)
trouve aussi un x1 et x2 mais qui sont ces x1 et x2 ?
AIDEZ MOI S’IL VOUS PLAIT !

Vous avez le désastre sous vos yeux. L’idée d’A. consiste à « faire ». Elle n’analyse
pas, elle « agit » à partir d’une « formule » (en élève travailleuse, elle connaît les
formules). Puis elle se raccroche à d’autres formules, celles du second degré. Car elle
voit un carré dans son développement (jetons un voile pudique sur le calcul de
delta…).

Au téléphone, j’essaie de remettre un peu de rationalité dans cet enchaînement
baroque. « Quelles sont les données de ton problème ? Peux-tu préciser les inconnues
 ? Réfléchis au statut de la relation $(b + x)^2 = (a + x) (c + x)$ : traduit-elle bien le fait
que a + x, b + x et c + x forment une progression géométrique ? ».

Elle a beaucoup de peine à élucider la première question, tant elle a perdu (puissance
de l’angoisse) en quelques mois les attitudes les plus élémentaires face à un
problème. De longues minutes sont nécessaires à la rassurer et à lui faire admette
qu’il est judicieux de calculer x à partir de a, b, c . Nous prenons rendez-vous
quelques jours plus tard pour aller plus loin et finir la résolution du problème.

Le téléphone raccroché, je me mets à l’étudier en détail (ne jamais prendre un énoncé
à la légère…).

Je me demande si $b^2 = ac$ est équivalent à « a, b, c sont en progression géométrique ».

Je traduis $b^2 = ac $ par $ \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$. Cela fonctionne bien si … a et b ne sont pas nuls. Dans
ce cas, il suffit de poser $ \frac{b}{a}=\frac{c}{b}= q $ pour conclure que a, b, c sont en progression
géométrique.

Que se passe t-il quand a = b = 0, ce que l’énoncé n’exclut pas ?
$b^2 = ac$ donne alors : 0 = 0 c. Tout réel c convient.
Ainsi donc, 0, 0, c, c non nul annule $b^2 - a c $, sans former une progression
géométrique… (0, 0, 0 est une suite géométrique de raison nulle).

Donc, a, b, c sont en progression géométrique si et seulement si $b^2 = ac$, a, b, c non
nuls ou a = b = c = 0.

Quant à la face arithmétique de la question, il est évident que 2b = a + c équivaut à
« a, b, c sont en progression arithmétique » (b − a = c − b).

Je reprends l’idée d’A. en la précisant :
a + x, b + x, c + x sont en progression géométrique si et seulement si
 1°) aucun des trois nombres n’est nul ou les trois sont nuls
et
 2°) $(b + x)^2 = (a + x) (c + x)$.

Je trouve $x= \frac{b^{2}-ac}{a+c-2b} $ , ce qui a un sens car le dénominateur ne peut être nul dans
les conditions de l’énoncé.

En revanche, rien n’empêche le numérateur de l’être, sans que a, b, c soient en
progression géométrique : voyez le triplet (0, 0, 1) et ses semblables. Je me rends
compte que l’énoncé est faux…. (pour ces triplets on ne peut trouver un x non nul…).

Pire encore, je calcule a + x, b + x, c + x :

$x+a=\frac{(a-b)^2}{a+c-2b} $

$x+b=\frac{(b-c)(a-b)}{a+c2b} $

$x+c=\frac{(c-b)^2}{a+c-2b} $
.

Les trois nombres sont nuls si a = b = c. Ils forment alors une suite géométrique, ce
qu’exclut l’énoncé.

Aucun n’est nul si les nombres a, b, c sont deux à deux distincts.

Mais un cas intéressant se produit si $a = b$ et $b \neq c$ (ou si $a \neq b$ et b = c). Alors
(a + x, b + x, c + x) = (0, 0, d), $d \neq 0$ (ou d, 0, 0).

Dans ce cas a + x, b + x, c + x ne forment pas une progression géométrique !

Ainsi donc pour tout triplet $(a, a, c)$ ou $(a, c, c)$, $c \neq a$, il n’existe AUCUN x non nul
tel que $a + x$, $b + x$, $c + x$ forment une progression géométrique. Pourtant
$(a, a, c)$ ou $(a, c, c)$, $c \neq a$, ne forment ni une progression géométrique, ni une
progression arithmétique.

Notre énoncé est donc (pour le moins) discutable.

Je me dis que tout cela est très au-delà des possibilités de compréhension d’A. (la
notion d’équivalence en particulier). J’imagine une stratégie moins complexe (qui
évite les équivalences), mais qui soit rigoureuse, en vue de notre prochaine
rencontre…

À partir de $x= \frac{b^2-ac}{a+c-2b} $
qu’elle a trouvé, je l’interroge :
Cette expression a-t-elle un sens ? Est-elle non nulle ? Elle sait que l’un des cas
correspond au numérateur non nul, l’autre suppose le dénominateur non nul. Elle met
longtemps à distinguer les deux situations (il faut revenir aux partages de gâteaux et
à la différence entre$\frac {0}{4}$ et $\frac {4}{0}$ ).

Elle explique sans trop de difficultés la non-nullité du dénominateur et constate que
le numérateur peut devenir nul sans trahir l’énoncé.

Pour éviter la notion d’équivalence des propriétés, je lui suggère de vérifier si $a + x$,
$b + x$, $c + x$ forment bien une progression géométrique (vérifier que le résultat
correspond aux attentes).

Elle constate que $ \frac{b+x}{a+x}= \frac{c+x}{b+x}= \frac{b-c}{a-b}$ et découvre le pot aux roses en fixant les
conditions $a\neq b$ et $b \neq c$ (pour que ces expressions aient un sens).

Les cas $a = b \neq c $ou $a \neq b = c$ fournissent des contre-exemples à l’énoncé.

Tout cela jette A. dans un grand trouble. Après notre séance, elle fait un sondage
téléphonique auprès de ses camarades qui n’y ont vu que du feu. Ce qui augmente
encore son trouble : comment faire sans trop se singulariser ? Car dans ces classes
d’excellence, il est préférable de ne pas sortir du lot, ni de mettre l’enseignant en
difficulté…
Je lui suggère de rédiger ce qu’elle a compris, et de simplement signaler par les
contre-exemples que l’énoncé paraît discutable. Une façon d’inviter l’enseignant à
réagir… Elle se rallia à cette solution minimaliste.

Lors du corrigé, le professeur noya le poisson (dans mon incorrigible naïveté, j’avais
imaginé que l’exercice était destiné à provoquer les réactions de la classe…). Il y a,
certes, une difficulté avec cet énoncé, les contre-exemples le montrent. Mais comme
les contre-exemples présentent deux éléments égaux, l’indication «  a, b, c, pris dans
cet ordre » n’était-elle pas destinée à les écarter ?

Il en resta là. Aucune analyse de fond de la question ne vint éclairer les obscures
raisons de ces contre-exemples. Aucune demande de la classe ne l’y invita
d’ailleurs…

« Pris dans cet ordre », cette expression suggère-t-elle un ordre strict ? Pourquoi ne
pas le dire alors ? Mais qui nous garantit la non-existence d’autres contre-exemples
avec trois nombres deux à deux distincts ? Seul un travail mathématique pourrait
trancher. Or il n’a pas été entrepris, ni même esquissé lors du corrigé.

Quelques questions pour finir [5].

Quel est l’intérêt de cet exercice tel qu’il a été traité par les élèves et corrigé par leur
professeur ? La frontière entre le vrai et le faux est-elle élastique en mathématiques ?
Est-il formateur de laisser dans l’ombre les difficultés rencontrées dans la résolution
d’un problème ? Est-ce acceptable dans une Première S en général, et plus
particulièrement dans une classe « d’excellence » ? Que dire de l’absence de
réactions d’une telle classe devant les difficultés d’un énoncé, et qui fait semblant de
ne pas les voir ? Ne serait-il pas judicieux d’en faire moins, mais d’aller au fond des
choses ?

Les mathématiques ont-elles vraiment dans ce contexte la vertu formatrice qu’on leur
prête et qui mérite qu’on les défende ?

Rebonds.

Jean-Pierre Friedelmeyer m’a fait l’amitié d’une lecture critique de l’article qui
précède. Ses réflexions et ses propositions conduisent à une re-formulation de
l‘énoncé et ouvrent d’intéressantes perspectives pédagogiques. Les voici, en résumé.

« Je trouve que tu passes trop de temps à décortiquer les incohérences de l’énoncé,
au risque d’amplifier encore chez les élèves le sentiment que décidément “ les maths
c’est du pinaillage et du coupage de cheveux en quatre ” et pas assez de temps à
proposer des éléments de réflexion pédagogique qui permettent de donner du sens et
de l’intérêt à un tel exercice. Par exemple :

 insister sur la définition [6]
que l’on donne des suites arithmétiques (suites dont
la différence de deux termes consécutifs est constante) et géométriques (suites
dont le rapport de deux termes consécutifs est constant), ce qui exclut, dans
ce dernier cas, que l’on prenne des nombres nuls. Je ne sais pas si l’on donne
d’autres définitions aujourd’hui, plus formelles, mais je défends celles ci-dessus
car elles ont un sens en soi, et non par une formule.
 remarquer alors que a + x, b + x, c + x peuvent être en progression
arithmétique si et seulement si a, b, c, le sont déjà
 mettre en évidence la raison “ candidate ” possible pour une suite
géométrique, (on incitait les élèves autrefois à faire une “ analyse ” du
problème), en écrivant $ \frac{a+x}{b+x}= \frac{b+x}{c+x}$ donc $=\frac{a-b}{b-c}$ ; ce qui montre tout de
suite l’intérêt de l’hypothèse, a, b, c, non arithmétique

L’exercice proposé est-il formateur ? Pour répondre à cette question, il est utile de
distinguer nettement deux aspects :
 1) l’appropriation des objets “ suite arithmétique, suite géométrique ” dans leur sens
et dans leurs caractérisations, de façon que l’élève les reconnaisse dans un autre
contexte (pas forcément mathématique scolaire, ou même mathématique) et puisse
résoudre des problèmes qui les mettent en jeu.
 2) l’occasion d’un exercice de raisonnement mathématique avec toutes les
caractéristiques que tu mets fort bien en relief à la fin de ton article.

Il me semble que tu traites surtout du second aspect, important certes, mais qui n’est
pas le seul. Si on prend en compte le premier aspect, je pense que l’exercice modifié
dans son énoncé présente un réel intérêt. J’ai tendance à penser que certaines
difficultés de notre enseignement viennent justement du trop d’importance accordé
dans nos classes au second point (le discours mathématique rigoureux mais formel)
et pas assez au premier (le sens de ce discours pour l’élève).

On pourrait poser des questions plus ouvertes, mais qui viennent assez naturellement,
eu égard aux opérations arithmétiques à l’œuvre dans ces suites. Par exemple :

Soient a, b, c trois réels distincts non nuls, rangés dans cet ordre (a < b < c, ou
c < b < a) et x un réel non nul.
 1) À quelles conditions nécessaires et suffisantes sur a, b, c, la suite a.x, b.x, c.x (les
nombres étant pris dans cet ordre) est-elle arithmétique ? géométrique ? Préciser dans
chaque cas la raison de la suite.
 2) À quelles conditions nécessaires et suffisantes sur a, b, c, la suite (a + x), (b + x),
(c + x) (les nombres étant toujours pris dans cet ordre) est-elle arithmétique ?
géométrique ? Préciser dans chaque cas la raison de la suite.
 3) Comment faut-il modifier ces conditions si l’on ne fait aucune hypothèse sur a,
b, c ?

Les deux premières questions mettent plutôt l’accent sur le sens, la troisième plutôt
sur la rigueur. »