Mathématiques en Première Générale
pour l’Enseignement Scientifique et autres enseignements
Tome 1

Chapitre 8
Des sinus pour tous les angles

Problème n°1
L’inclinaison des rayons pour le chocolat

Pourquoi fait-il plus chaud en été qu’en hiver alors que la distance de la Terre au Soleil n’a quasiment pas varié ? Pour répondre à cette question, on peut faire une expérience [1].

Deux carrés de chocolat identiques sont éclairés par des lampes suivant des angles différents. Le chocolat fond plus vite lorsque la direction des rayons lumineux est perpendiculaire aux carrés de chocolat.

Nous allons étudier comment l’inclinaison intervient sur la chaleur reçue. Imaginons un rayon de soleil comme un cylindre dont l’axe central a la direction de la droite joignant le centre du Soleil au centre de la Terre. Et considérons le lieu de l’impact avec la Terre comme une portion de plan. Lorsque le rayon arrive sur ce plan perpendiculairement, il dessine un disque lumineux sur le plan. Mais s’il arrive de façon oblique, il dessine une portion ovale et nous appelons le bord une ellipse. Nous allons montrer que cette ellipse est obtenue en étirant le disque.

Résultat : la même énergie est envoyée sur une surface plus grande, donc l’intensité lumineuse en chaque point est plus faible.

Voici une coupe dans le plan où se déplace la lampe, qui contient la direction du rayon lumineux et la perpendiculaire au sol au point d’impact, et, en dessous, la tache de lumière pour différents angles.

Considérons que le cylindre lumineux a pour rayon AK = $r$ = 0,2 et forme un angle $\alpha°$ avec le sol.

  • Quelle relation relie l’angle $\alpha°$, le rayon fixe $r$ du cylindre et la distance $s$ = OA ?
  • Peux-tu imaginer la construction pour un autre point de l’ellipse ?
  • Peux-tu tracer l’ellipse entière pour un angle de 30° ? Pour un autre angle ?
    Et que se passe-t-il si l’angle atteint ou dépasse 90° ?
  • Peux-tu comparer l’aire de l’intérieur de l’ellipse pour un angle de $\alpha°$ avec celle du disque correspondant à $\alpha°$ = 0° ?
  • Que peut-on dire de l’énergie reçue par chaque point pour $\alpha°$ par rapport à 0° ?

 

Après avoir cherché par toi-même, puis avoir échangé avec tes voisins, s’il s’agit d’un travail de groupe, tu peux regarder les pages suivantes du chapitre 8 où les méthodes sont détaillées.

Compare ces méthodes et assure-toi qu’elles donnent les mêmes résultats.

Dans les pages du chapitre 8, tu trouveras une grande quantité de problèmes où tu pourras réutiliser ces méthodes, puis une synthèse sur les notions mathématiques utilisées ici.

 

Le chapitre 8 en téléchargement

L’ensemble de ce chapitre est à télécharger.

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