Compte-rendu de la réunion de la commission lycée des 4 et 5 juin 2005

Catherine Combelles

- 15 juin 2005 -

La définition d’une suite tendant vers donnée comme prérequis de l’exercice n° 31 de la liste de l’Inspection Générale en 2005 illustre bien ce niveau de complexité :

« Une suite (un) tend vers si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A ».

D’autre part, bien que la formulation des quantificateurs en langage « naturel » entraîne un niveau de complexité linguistique incompressible, les définitions qui les utilisent peuvent être exprimées de différentes manières dont l’expérimentation nous apprend qu’elles ne sont pas perçues comme équivalentes.

Par exemple, la définition suivante d’une suite tendant vers :

« Dire qu’une suite (un) tend vers signifie que :

pour tout réel A arbitrairement choisi, on peut trouver un rang N à partir duquel tous les un sont supérieurs à A », bien qu’équivalente d’un point de vue sémantique à la définition de l’exercice n° 31 ne l’est pas du point de vue de l’apprenant.

De nombreux tests et expérimentations nous ont montré que, même en DEUG, ces difficultés ne sont pas dépassées.

Or la restitution organisée des connaissances se place à un niveau nettement plus élevé. Restituer des connaissances nécessite non seulement d’avoir compris les définitions et les démonstrations du cours, mais en plus de savoir les mémoriser, autre type d’exercice dévalorisé depuis des années par l’Education Nationale elle-même et auquel les lycéens ont donc été peu préparés.

Les restituer de façon organisée exige en plus de savoir les réinvestir, les reformuler, les transformer et les intégrer à des démonstrations.

Il semble que cela n’est accessible qu’à un très petit nombre d’élèves de terminale S.

Observations sur les exercices relatifs aux suites de la liste proposée par l’Inspection Générale de Mathématique ( http://eduscol.education.fr/D0056/m... )

Exercice n° 6 :

Les questions 1 à 3 semblent raisonnables, car assez proches du cours, bien qu’on puisse s’interroger sur l’énoncé de la question 1 : « Donner la traduction mathématique de la propriété P1 » qui laisse penser que P1 : « la suite (un) est majorée » n’est pas du langage mathématique.

Par contre la question 4

« Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 (on demande de justifier la réponse) ? » avec

-  P2 la suite (un) n’est pas majorée ;
-  P4 la suite (un) tend vers ;

cumule :

-  Une difficulté de formulation - Une suite (un) qui tend vers vérifie-t-elle nécessairement la propriété « elle n’est pas majorée » ? - qui tient autant à l’usage implicite de plusieurs quantificateurs qu’à l’usage d’une négation.
-  Un gros problème de démonstration : pour prouver qu’une suite tendant vers n’est pas majorée, il faut savoir expliciter la propriété « la suite (un) n’est pas majorée », ce qu’on peut difficilement exiger de la part d’élèves qui n’ont rien appris sur les quantificateurs.

Exercice n° 13 :

La partie A propose :

« Soit (un) une suite croissante non majorée.

1. Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tel que .

Démontrer que pour tout entier naturel n, si alors .

2. Quelle conséquence peut-on en tirer pour la suite (un) ?

3. Enoncer le théorème du cours ainsi démontré. »

La question 1 est claire.

Les questions 2 et 3 ne le sont pas, car on peut aussi faire la démonstration de la question 1 pour une suite (un) croissante et majorée, par M ou par un autre réel. « Soit » ne donne aucune indication sur l’existence d’un n0 .

Cet énoncé montre bien la difficulté de faire des démonstrations rigoureuses sans utiliser les quantificateurs. Si nous- mêmes n’y arrivons pas, il n’est sûrement pas raisonnable de le demander à des lycéens.

Exercice n° 14 :

La démonstration du C exige d’utiliser la propriété « la suite n’est pas majorée » comme dans la question 4 de l’exercice n°6. Cependant, comme il s’agit ici d’un théorème du cours, le travail demandé aux élèves est de restituer une démonstration et non d’en construire une nouvelle. Le niveau de difficulté est donc plus raisonnable, mais le travail sur les contre-exemples est peut-être une piste plus intéressante pour les exercices de restitution organisée de connaissances.

L’exercice n° 22 est d’un niveau totalement décalé par rapport aux autres, et semble sans grand intérêt si on n’intègre pas cette question à un exercice plus complet.

Il ne vaut sans doute pas trois points, qui est pourtant le barème minimum pour un exercice de bac.

Exercice n° 26 (spécialité) :

Cet exercice donne les dix premiers termes d’une suite (un) et pose des questions du type :

-  Montrer que un n’est jamais ...
-  Peut-on affirmer que, à partir d’un certain rang, est ...

Nous avons élaboré un questionnaire du type Vrai - Faux, que nous avons soumis à une dizaine de classes de 1ère S, terminale S ou groupes d’étudiants de DEUG math. Nous avons posé entre autres les deux questions suivantes :

« (un) est une suite définie pour tout et telle que.

Répondre par Vrai ou Faux :

a) On est sûr que cette suite est arithmétique.

b) On est sûr que cette suite est croissante. »

Ces deux questions sont les plus mal réussies de tout le test, qui comporte pourtant de bien plus grandes difficultés a priori.

Les taux de réussite moyens pour ces deux questions sont respectivement de

-  20% et 20% pour les élèves de terminale S testés
-  36% et 31% pour les étudiants de première année de DEUG de math testés
-  24% et 22% pour l’ensemble des lycéens et étudiants testés

On peut alors imaginer les réponses à la question :

« Peut-on affirmer que, à partir d’un certain rang, est divisible par 3- mais pas par 33 ? »

La plupart des jeunes répondront sans doute : « Oui, à partir du rang 5, est divisible par 3- mais pas par 33 » - ce qui est la réponse correcte - mais en ne regardant que les termes de rang compris entre 5 et 10.

Pire, les assez rares élèves qui n’extrapolent pas les propriétés des suites à partir des premiers termes auront plus de mal à trouver la bonne réponse.

Exercice n° 31 :

On retrouve dans la partie I une question déjà posée sous une autre forme dans le n° 14, mais la définition donnée ici en prérequis ne simplifie probablement pas le problème, car, comme nous l’avons déjà évoqué plus haut, les élèves ont peut-être l’habitude de travailler sur un énoncé un peu différent qui leur est plus familier.

Qu’attend-on comme réponse à la question 2b ?

Que signifie la question 2c « Conclure quand à la convergence de la suite ( ) » ? Faut-il simplement dire que ( ) est divergente ou aussi prouver qu’elle tend vers ?

En conclusion, ces exercices abordent essentiellement trois types de difficultés :

-  Savoir utiliser dans une démonstration le fait d’être « non majorée » (exercices 6, 13, 14, 31).

Dans les exercices 14 et 31, il s’agit de restituer la démonstration d’un théorème du cours, reprise également dans le numéro 13. L’exercice 6 demande de trouver une nouvelle démonstration de ce genre et nous semble donc trop difficile.

-  Rechercher des contre-exemples.
-  Etudier des propriétés d’une suite à partir de conjectures - vraies ou fausses - sur les premiers termes.

Il nous semble qu’on accorde ici une place trop importante au premier point dont l’évaluation en terminale n’est peut-être pas raisonnable, alors que les deux autres donnent des pistes intéressantes.

Il est dommage que le seul exercice de la troisième catégorie soit le numéro 26 car c’est un exercice de spécialité et qu’il propose un exemple compliqué et des questions dont la réponse correcte non justifiée correspondra dans la plupart des cas à un raisonnement faux comme nous l’avons souligné plus haut.

Comprendre qu’on ne peut pas induire une propriété à partir des premiers termes d’une suite nous semble un objectif plus essentiel en terminale que le premier point. C’est une piste possible pour de futurs exercices type bac.

Conclusions

L’étude engagée ne permet actuellement que d’avancer des conclusions provisoires. Toutefois, il apparaît que certaines difficultés sont incontournables, notamment les choix imposés par la contrainte du temps d’enseignement, la nécessité de savoir s’exprimer et argumenter outre la maîtrise des raisonnements, la difficulté de cumuler "savoir-démontrer" et "savoir-utiliser".

Rappelons que l’horaire consacré aux mathématiques dans l’enseignement secondaire en général et dans les classes de Terminale scientifique en particulier a été réduit par rapport à ce qu’il était disons il y a une quinzaine d’années. Mais les capacités individuelles d’assimilation ne se sont pas accrues pour autant. Les essais conduits ont fait apparaître que des élèves d’un niveau général plus que correct peuvent certes s’entraîner à traiter des exercices comportant des restitutions organisées de connaissances et y parvenir en définitive pas trop mal. Mais corrélativement, leur réussite à des exercices d’application a semblé s’en trouver réduite, ce qui a été mis en lumière lorsque ces mêmes élèves ont été interrogés sur des exercices de baccalauréat des années précédentes. Que dire de ce qui se passe dans des classes d’un niveau d’ensemble un peu moins bon ? Nous avons observé par exemple la copie d’une élève consciencieuse qui avait récité - plutôt correctement - des passages compliqués de la démonstration d’un ... autre théorème que celui qu’on lui demandait de prouver. Un problème de choix se pose donc, puisque l’entraînement à des exercices du type de ceux qui ont été proposés sous l’intitulé de R.O.C. semble demander un effort important, au détriment de l’entraînement à d’autres activités.

- On risque de discréditer l’enseignement des maths car on sait bien que plus les sujets sont difficiles, plus il faut être indulgent dans la correction des copies pour obtenir des notes « raisonnables » et on finit par donner des notes qui ne sont guère significatives (c’est ce qui s’est passé au bac S 2003).

- On crée un malaise et un sentiment de découragement et d’insécurité auprès des élèves car ils ont l’impression qu’on leur demande des choses trop difficiles pour eux et qu’ils n’auront jamais assez de connaissances et de savoir-faire pour aborder l’épreuve de bac sereinement. On les met en permanence face à leur incompétence et pas en situation où leurs compétences sont valorisées. On n’a plus le temps de faire des activités motivantes en raison du temps important qu’il faut consacrer aux démonstrations de cours. Comment peuvent-ils dans ces conditions acquérir le goût des mathématiques et avoir envie de poursuivre leurs études dans ce domaine ?

- Ne serait-il pas plus raisonnable de reporter à l’enseignement supérieur spécialisé en mathématiques la capacité à traiter abstraitement des notions mathématiques ?

Le groupe « suites » de l’IREM de Strasbourg : François Pluvinage, Nicole Vogel, Michèle Chagnard, Jacky Dudt, Claudine Kahn, Bernard Koch, Bernard Langer, Gilbert Le Cam, Claudine Mitschi, Odile Schladenhaufen, Francine Schmitt.

Nicole Bopp, Directrice de l’IREM de Strasbourg

Annexe 4 : la partie « lycée » du projet de texte d’orientation de l’APMEP (document de travail non définitif)

1. Le lycée

Les problèmes d’hétérogénéité et de motivation rencontrés par les collègues de collège sont, depuis plusieurs années, présents dans les classes de seconde et dans certaines classes de première et terminale. La désaffection inquiétante constatée dans les séries scientifiques, après le baccalauréat, nous oblige à repenser prioritairement les classes de seconde, de première et terminale S. Actuellement , il n’est pas rare, en première S, d’entendre des élèves déclarer n’aimer ni les maths ni la physique. L’attrait de cette section doit être celui des sciences avant d’être celui des nombreuses possibilités d’orientation. L’APMEP demande que la deuxième langue vivante redevienne optionnelle, mais à elle seule cette mesure ne suffit pas. Le pas à franchir entre la seconde et la première S, en mathématiques, est beaucoup trop important et il augmente au fur et à mesure des années. La section S a désormais la réputation d’être difficile, de demander des heures de présence importantes et d’exiger beaucoup de travail personnel. Ces facteurs contribuent à détourner les élèves de l’enseignement des sciences. Pour lutter contre cette désaffection, il faut redonner aux élèves le goût des sciences, réduire l’écart entre la seconde et la première et enfin réduire la disparité d’horaires hebdomadaires entre les diverses séries.

Donner le goût des sciences doit se faire dès l’école maternelle, se poursuivre au collège et c’est en seconde que les élèves font des choix déterminants pour leur cursus ultérieur. Aujourd’hui en seconde, l’enseignement des sciences est un enseignement grand public, dans l’esprit de ce qui se pratique au collège, qui s’efforce de donner à chaque lycéen un bagage minimum destiné à faire de lui un citoyen responsable, capable de prendre sa place dans la société. Faute de temps et du fait de la très grande hétérogénéité des classes, cet enseignement n’est pas suffisamment tourné vers l’apprentissage de la démarche scientifique. Les seules options scientifiques proposées aux élèves de seconde, telles MPI, sont des options « techniques », n’ont pas pour but de faire découvrir aux élèves le plaisir de la recherche, ni celui de la culture scientifique. Les collégiens se plaignent qu’on ne propose rien à ceux qui aiment les mathématiques. La création d’une option centrée sur la démarche et la culture en sciences correspond aujourd’hui à un besoin.

En seconde, les options sont structurées en enseignement de détermination qui permettent aux élèves une réflexion sur leur orientation, par une première approche des méthodes et de la culture des diverses séries et d’options facultatives. En première, les options obligatoires préparent au choix de la spécialité. Si elles remplissent parfaitement leur rôle pour les sections littéraires ou économiques (langues vivantes, économie, ...), rien n’est prévu pour les sections scientifiques. Et si un élève n’a pas de projet, il choisit la filière S, seule filière « générale » !

Nous proposons de revoir entièrement l’architecture du lycée.

La classe de seconde

Il faut prendre en compte le fait que les élèves qui entrent en classe de seconde auront un vécu différent. Leur culture mathématique commune sera basée exclusivement sur ce qui a été travaillé dans les noyaux, au collège. Les élèves ne doivent, cependant, pas se trouver écartelés entre cette culture commune, raisonnable et raisonnée, présente chez un élève de collège et les compétences légitimes attendues d’un futur élève scientifique.

La seconde est, et reste une classe de détermination, d’orientation à l’essai. Les secondes actuelles, dites indifférenciées , sont de fait déjà « colorées » par le biais des options de détermination ( SES, STT, MPI, ISI ISP, ...). Rares sont, en effet, les classes constituées à partir d’options aussi différentes que MPI et STT ou SES et arts plastiques. Pour une meilleure lisibilité, nous proposons de remplacer ces classes par quatre grands types :

- une seconde sciences et technologie,
- une seconde économique et tertiaire,
- une seconde lettres, langues et arts,
- les secondes à projet spécifique telles arts appliqués, sciences et techniques de laboratoires, sciences médico et sociales, ...

Chaque élève doit pouvoir s’orienter objectivement, en fonction de ses goûts et de ses aptitudes, à la fin de cette année de pré orientation, le choix de la seconde ne déterminant pas obligatoirement celui de la classe de première. C’est pourquoi, une culture commune, tant littéraire que scientifique, est développée dans ces quatre types de seconde. Les horaires et les contenus des enseignements obligatoires sont donc identiques pour ces 4 catégories de classes. En mathématiques, tous les élèves bénéficient de quatre heures hebdomadaires, dont une heure est dédoublée. Le programme n’est pas écrit en terme de contenus mais en terme de problèmes, de façon à obtenir un autre regard de nos élèves sur leur connaissances de collège, par exemple « quelles sont les caractérisations du parallélisme, de l’orthogonalité, des polygones réguliers, ... Mais un enseignement pluridisciplinaire de mise en culture accompagne les disciplines dominantes qui différentie les classes et justifie leur appellation.

En seconde sciences et technologie, il s’agit de « démarche et culture en sciences », plus connues sous le nom d’option sciences. L’enseignement obligatoire dans les trois disciplines scientifiques, mathématiques, SVT et physique est un enseignement “ grand public ” qui s’efforce de donner à chaque lycéen un bagage minimum destiné à faire de lui un citoyen responsable capable de prendre sa place dans la société dans laquelle il vit. Mais il n’est pas suffisamment tourné, du fait de l’hétérogénéité très grande des classes de seconde, vers l’apprentissage de la démarche scientifique qui fait la spécificité de la série scientifique. Il est donc nécessaire d’attribuer trois heures hebdomadaires à cet enseignement pluridisciplinaire. Les élèves ont ainsi davantage le temps d’expérimenter cette démarche. Il s’appuie sur les connaissances des élèves sans apport théorique spécifique, de façon à ne pas pénaliser les élèves des autres enseignements pluridisciplinaires qui choisiraient de se diriger vers la section scientifique. Elle est uniquement axée sur la recherche, l’expérimentation, la lecture et la production de textes scientifiques, composantes essentielles de la démarche mathématique comme des sciences expérimentales et elle vise d’abord à promouvoir une image des sciences dynamique et motivante.

La classe de première

Les classes de seconde décrites précédemment débouchent naturellement vers plusieurs types de premières. La seconde économique et tertiaire prépare plutôt à la première économique et à la première tertiaire, la seconde sciences et technologie aux première scientifique et première sciences et technologie. En première scientifique, l’horaire de mathématiques est de six heures pour tous, dont une heure dédoublée. Cependant, la pré orientation de seconde ne détermine pas obligatoirement l’orientation en première. Il est ainsi possible à un élève de seconde lettres, langues et arts de passer en première scientifique si ses résultats le permettent.

Le choix du type de terminale (voir le paragraphe suivant) pour les élèves scientifiques peut devenir un point clé de l’orientation de ces élèves vers les filières scientifiques de l’enseignement supérieur. Premier choix d’une discipline scientifique, il pourrait être conçu comme un premier pas vers un choix d’orientation, qui ne serait pas décisif, mais qui pourrait être compris comme un premier essai. L’APMEP souhaite que les élèves fassent ce choix de terminale, avec discernement, en cohérence avec leurs centres d’intérêts, leurs projets, leurs qualités personnelles, et non pas en termes de stratégie à court terme pour le baccalauréat. Pour préciser ce choix et développer un apprentissage plus autonome de la démarche scientifique où pourraient s’exprimer les préférences et les projets individuels, nous proposons d’offrir aux élèves des sections S une option « démarche et culture en sciences » unique qui, comme en seconde, est pluridisciplinaire, et s’appuie sur les connaissances des élèves pour chercher et expérimenter, sans apport théorique obligatoire. Cette option scientifique de trois heures hebdomadaires, intègre en particulier, un travail sur projet pluridisciplinaire qui s’appuie sur n’importe lesquelles des disciplines scientifiques, et pourquoi pas sur les trois. Ce travail sur projet doit s’intégrer dans l’ensemble d’un travail annuel. Les choix des sujets, ainsi que le type de production sont laissés à la discrétion des élèves. Il est évalué à la fin de chaque trimestre.

La classe de terminale

La première scientifique donne accès à quatre types de terminales scientifiques :

- sciences mathématiques,
- sciences de la matière ,
- sciences de la vie,
- sciences de l’ingénieur.

Le caractère scientifique de ces terminales est renforcé. Des notions sont communes à toutes les sections, mais d’autres sont différentiées. En particulier les horaires de mathématiques, les contenus, les niveaux d’exigence sont différentiés suivant le choix de la classe de terminale et sont adaptés à la poursuite des études.

Voici une proposition d’horaires pour les différentes disciplines scientifiques, dans ces quatre sections.

  math physique SVT SI Total
mathématiques 9 5 3 0 17
Sciences de la matière 7 7 3 0 17
Sciences de la vie 5 5 7 0 17
Sciences de l’ingénieur 7 5 0 5 17

Les programmes

Dans la continuité de ce que nous proposons au collège, les programmes sont lus et conçus en grandes classes de problèmes, de problématiques, qui inscrivent objectifs, compétences et contenus en systèmes. Les contenus doivent apparaître comme une issue et un moyen incontournables pour résoudre des problèmes significatifs et non comme un catalogue figé d’objets à visiter.

Partir du questionnement d’une situation, mais en inscrivant son sens dans une perspective théorique, conjecturer une réponse, la formuler sous forme d’hypothèse, avec les outils à notre disposition au moment présent.

Modéliser.

Traiter la situation formelle, éventuellement changer de cadre de résolution, de registres d’expression et montrer l’efficacité des outils utilisés.

Interpréter les réponses et les résultats obtenus, et donc, restituer du sens ; éventuellement réfuter une hypothèse, revenir sur la modélisation et la formulation choisies .

Expliquer, généraliser, anticiper, prévoir dans des situations comparables et donc élargir le sens du questionnement initial.

En outre, les programmes de mathématiques doivent :

- être conçus dans une vision globale pour assurer une bonne continuité entre les cycles (Ecole, Collège, Lycée général, technologique et professionnel ) ;
- être articulé avec ceux des autres disciplines scientifiques.

Annexe 5 : Notice de l’inspection Régionale de l’académie de Montpellier pour expliquer ce qu’est l’option Sciences

Fiche d’information sur les “options Sciences”

en classe de Seconde

Qu’est-ce qu’une “option Sciences” ?

C’est un enseignement de détermination proposé aux élèves lors de l’inscription en classe de Seconde.

Cet enseignement est destiné à donner aux élèves le “goût” des sciences, de manière pluridisciplinaire. Il doit donc former à la démarche scientifique, en cherchant à développer des qualités telles que l’organisation, l’autonomie, l’initiative et l’imagination, tout en présentant les sciences de façon intéressante et motivante.

L’implication d’enseignants de plusieurs disciplines dans le projet (mathématiques, sciences de la vie et de la terre et physique-chimie, à minima) permettant de croiser des approches sur des situations concrètes, des mises en situation de recherche ou des problématiques locales.

À qui s’adresse-t-elle ?

Aux élèves intéressés par les sciences, mais pas forcément déjà déterminés ou passionnés. Il s’agit de permettre aux élèves de s’orienter de manière positive vers les sciences ou, s’ils ne se dirigent pas vers des études scientifiques, à avoir une image positive de la science et une véritable “culture scientifique” comme futurs citoyens.

Les statistiques tendent à prouver que c’est du côté des jeunes filles que le déficit d’inscription vers les carrières scientifiques est le plus criant. Cette option pourrait être l’occasion d’affermir un projet et de convaincre des familles pas toujours décidées à engager leurs enfants vers des études réputées difficiles.

Comment organiser l’option Sciences ?

L’option est organisée de manière concertée par les professeurs des trois disciplines, sur un bloc hebdomadaire de 3h élèves, de préférence consécutives. Les élèves doivent être en effectifs réduits lors des activités qui le nécessitent. Il est souhaitable que les interventions des enseignants soient programmées à l’année afin de permettre, certaines semaines, des activités (sorties, visites, conférences) étalées sur les 3 heures.

Le programme de l’option repose sur la mise en situation, une démarche de projet ou de résolution de problèmes, l’élaboration et le suivi d’expériences, des travaux sur le terrain, la recherche et le traitement de l’information et la rencontre de personnes ressources dans leur contexte d’action ou sous forme de tables-rondes et de conférences.

Des partenariats peuvent être établis avec des établissements d’enseignement ou de recherche, des établissements publics, des collectivités locales ou des associations agréées.

L’évaluation des élèves sera facilitée par la tenue d’un cahier ou classeur unique de l’option, ainsi que l’établissement d’une note unique et d’une appréciation de l’équipe des professeurs de l’option figurant sur le bulletin trimestriel.

Annexe 6 : Projet de protocole EVAPM (Extraits principaux, document de travail non définitif)

Étude relative aux apports de l’épreuve du baccalauréat à l’identification des connaissances et des compétences acquises par les candidats

Étude centrée sur la session 2005 du baccalauréat série S

Étude proposée par l’APMEP dans le cadre de l’observatoire EVAPM

Objectif de l’étude

Contribuer à la compréhension de ce que les épreuves de mathématiques du baccalauréat permettent d’évaluer et de ce qu’elles évaluent vraiment.

Simultanément, et par rapport aux possibilités d’expression offertes aux candidats par l’épreuve de bac prise comme support de l’étude, mise à plat des connaissances et des compétences manifestées par les candidats.

L’étude se veut donc à la fois une étude relative aux acquis des élèves de terminale S, dans le domaine mathématique, au moment du bac, et à la validité édumétrique du baccalauréat.

Les deux principales questions posées par l’étude sont donc :

- Quelle est la validité édumétrique du baccalauréat ?
- Qu’est-ce que l’épreuve du baccalauréat révèle des connaissances et des compétences des élèves de la série S, dans le domaine mathématique, au moment du bac ?

Ces deux questions étant, à l’évidence indissociables.

L’objet de l’étude

L’objet de l’étude est, essentiellement, l’épreuve écrite de mathématiques d’une session de baccalauréat.

Un complément relatif aux épreuves orales sera toutefois recherché.

Cet objet est donc constitué de plusieurs éléments :

- un sujet d’examen, encore appelé l’épreuve,
- les conditions et le contexte de la passation de l’épreuve,
- les réalisations (ou performances) des candidats, identifiées aux copies,
- les notes et détail de notes attribuées aux copies,
- les résultats statistiques nationaux de l’épreuve.
- dans la mesure du possible, un corpus de questions et d’informations relatif aux épreuves orales.

Un session particulière, celle de 2005, série S, pour la métropole est prise comme représentant de cet objet.

Cette session a été choisie, pour des raisons pratiques, avant même que le sujet ne soit connu.

Le sujet sur lequel se focalise l’étude est ainsi le sujet de série S du baccalauréat 2005 (métropole).

Le principe est que toute session de bac (vs épreuve) est destinée à révéler les connaissances et les compétences des candidats et que toute session (vs épreuve) est, a priori, un bon représentant de l’ensemble des sessions (vs épreuve) possibles.

Cela se traduit déjà par deux hypothèses :

- Hypothèse 1 : La session 2005 est un bon représentant de l’ensemble des sessions possibles dans les conditions de fonctionnement actuel du baccalauréat (et non nécessairement dans la perspective de l’évolution souhaitée de ces épreuves).

- Hypothèse 2 : L’épreuve de mathématiques du bac S 2005 est un bon représentant de l’ensemble des épreuves possibles dans les conditions de fonctionnement actuel du baccalauréat (et non nécessairement dans la perspective de l’évolution souhaitée de ces épreuves)

Il conviendra donc de se poser, a posteriori, la question de savoir si ces deux hypothèses peuvent être confirmées. Si cela n’était pas le cas, il conviendra de se limiter à présenter l’étude comme une étude de cas et non comme une étude de portée plus générale.

Deux autres hypothèses qu’il convient de lier aux précédentes peuvent encore être émises :

- Hypothèse 3 : L’épreuve de mathématiques du bac S est un bon révélateur des connaissances et des compétences des candidats.

Sommaire

Suite à une communication par mail quelque peu hasardeuse et à une décision assez tardive (annoncée à la suite du séminaire national du moi de mai), la commission lycée a travaillé en très petit comité, mais le travail a été intéressant et nous avons couvert l’ensemble de l’ordre du jour.

1. Rénovation des séries technologiques

La réforme amorcée par Mélanchon a abouti à la création d’un label « lycée des métiers », décerné par les recteurs. Il semble que la place des séries technologiques dans l’architecture globale du système est en train d’évoluer, mais de façon opaque, sans véritable négociation. On peut se poser diverses questions : les séries technologiques, traditionnellement attachées aux séries générales dans des « lycées polyvalents » vont-elles se trouver désormais liées davantage aux filières professionnelles ? Que penser de l’évolution des BTS ? Ne vont-ils pas être pensés dans un avenir proche comme de super bac-pro ?

Les programmes de mathématiques des séries technologiques sont en cours de rénovation, dans le contexte d’une refonte générale de ces séries. En ce qui concerne les mathématiques, l’effet le plus évident de ces modernisations est la réduction des horaires avec surtout la disparition de dédoublements précieux dans ces classes où le calcul et la manipulation d’objets abstraits sont souvent source de difficultés. Les professeurs sont inquiets à la fois devant les perspectives de regroupement d’élèves de profils différents et de niveaux de compétences traditionnellement hétérogènes( STL physique et STL biologie / STG communication et STG gestion), et surtout devant la disparition de nombreuses heures dédoublées.

Série STI et STL :

Notre seule information sur la question est l’article de Francis Labroue dans le numéro 9 de PLOT. Il est intéressant mais très général, et nous n’avons depuis 6 mois aucune information supplémentaire. Il semble qu’un groupe de travail planche sur de nouveaux programmes, qui seraient en application en première à la rentrée 2006, mais nous ne connaissons aucun projet, alors que les textes des nouveaux programmes de la section STG ont été soumis à consultation et sont visibles, bien que dans une version ancienne, sur le site EDUSCOL. Catherine Combelles est mandatée par la commission pour rechercher des informations plus précises sur cette série, où les évolutions manquent pour le moins de lisibilité. Le programme actuel fonctionne bien, avec un horaire suffisant qui permet d’assurer à la fois un niveau de technicité acceptable et une compréhension convenable des objets mathématiques d’un programme assez technique (trigonométrie, nombres complexes, calcul vectoriel, analyse incluant calcul intégral et équations différentielles.)Les professeurs s’en disent satisfaits lême si son lien avec la nouvelle seconde mérite quelques adaptations. Ils craignent un changement dont l’effet essentiel risque d’être, là comme ailleurs, une dégradation importante des conditions d’apprentissage.

Série SMS :

C’est la seule série, semble-t-il, qui pourrait échapper à la baisse d’horaire, car, nous a appris monsieur Piednoir, les représentants du ministère de la santé ont plaidé pour un horaire renforcé et ont insisté sur la nécessité pour les futurs bacheliers de la série de maîtriser la proportionnalité : le niveau de mathématiques peut être dans les métiers de la santé, une question de vie ou de mort ! Un nouveau programme de math a été rédigé en 2004, et il a recueilli un avis favorable ; l’horaire de la classe de terminale sera augmenté de 0.5 heure dans la discipline. Les collègues concernés par ce dossier se sont inquiétés de ne plus en entendre parler, mais selon nos dernières informations, (voir en annexe 1 une intervention de Monsieur Piednoir à ce sujet), le projet sera bel et bien soumis à la concertation avec tous les autres programmes et sera mis en oeuvre avec eux.

Série STG :

Louis-Marie Bonneval, membre du GEPS chargé de cette série nous expose la situation : La suppression des modules , dit-il, condamne a priori l’application de ces nouveaux programmes. Le CSE a voté contre le programme de première, mais le ministère, malgré tous les avertissements, persiste. Ce programme va donc s’appliquer dans de mauvaises conditions. Son intérêt essentiel est un souci d’harmonisation avec le programme d’éco-gestion qui a été relevé, de sorte que cette csérie devrait entrer en concurrnce avec la série ES.

Une concertation sur le programme de terminale (qui sera appliqué, à la suite du nouveau programme de première, à la rentrée 2006) a eu lieu, avec des rencontres, des enquêtes au niveau académique, (production remarquée de l’académie d’Aix-Marseille !), des interventions individuelles sur Eduscol. (Oui, elles sont lues !!). Le ministère a fait une synthèse, à la suite de quoi le projet a été revu. Le projet présent sur Eduscol n’est donc pas le projet définitif.

Le programme d’analyse diminue, avec la disparition des chapitres « intégrales » et « limites ». On a préféré une bonne maîtrise de la notion de dérivée. La fonction exponentielle est présentée comme fonction réciproque de la fonction ln, elle-même définie comme fonction de dérivée 1/x nulle en 1.

Le chapitre sur les probabilités a été étoffé, avec la notion de probabilité conditionnelle et d’indépendance. On propose l’utilisation d’arbres ou de tableaux pour résoudre des problèmes.

Suite à la consultation, la notation f(x,y), controversée, a été supprimée, ainsi que les fonctions puissances, par crainte de confusion entre fonction exponentielle et fonction puissance. Certains regretteront la disparition de l’étude du second degré.

Un document d’accompagnement de 60 pages est presque prêt. Il sera en ligne au mois de juin sur Eduscol, et une version papier sera disponible à la rentrée. Il sera accompagné de quelques fichiers d’exemples sur tableurs, en ligne sur Eduscol. On ne peut que recommander sa lecture y compris pour la section ES, car il contient des précisions intéressantes sur les fonctions coûts par exemple.

Jacques Moisan a annoncé aussi pour l’année 2005-2006 une banque d’exercices pour cette série.

2. Nouveau programme de la spécialité L

Josette Feurly-Reynaud, qui siège au GEPS chargé de cette série, nous apporte les dernières nformations : une nouveauté essentielle du nouveau programme est la présence explicitée de deux domaines transversaux : la logique et l’algorithmique, qui seront travaillés à partir des contenus du programme. Le travail sur l’algorithmique était le point intéressant du projet précédent, refusé comme on sait en 2003. Un de ses objectifs est de démystifier le fonctionnement des machines.

Le projet en ligne à ce jour (3 juin 2005) sur Eduscol à l’adresse : http://eduscol.education.fr/index.p... a été modifié à la suite de la consultation : le chapitre de dénombrement et par suite so application à la loi binomiale ont été supprimés, car la longueur semblait excessive à beaucoup au regard de l’horaire.

Nous apprécions l’apparition des domaines transversaux, elle nous semble pertinente aussi pour les autres séries. Nous sommes satisfaits que les remontées de la consultation aient été pris en compte et que des allègements aient été acceptés.

Nous nous interrogeons sur le chapitre de géométrie, en regrettant la disparition du chapitre sur les constructions à la règle et au compas, qui était généralement très apprécié et semblait bien adapté par exemple pour les futurs professeurs d’école.

Certaines nouveautés, comme la perspective et l’étude des domaines transversaux peuvent être délicates et demanderont que des actions de formation soient mises en place dans les académies.

Josette Feurly nous apprend qu’un document d’accompagnement est en préparation, il sera en outre accompagné d’une banque d’exercices pour le bac préparée d’autre part par l’inspection générale (annonce récente de Jacques Moisan)

3. Evaluation au bac 2006 des TPE

La commission prend connaissance de la circulaire aux recteurs du 20 mai (voir annexe 2). A noter que les textes réglementaires n’ont pas encore été présentés au CSE. Le dispositif envisagé pour le bac 2006 (attribuer comme note de TPE la note de l’épreuve écrite du bac dans une des disciplines d’appui du TPE choisie par le candidat lors de son inscription à l’examen) nous parait ubuesque.Nous mettons donc au point le texte suivant transmis le jour même au bureau national :

"Le dispositif surréaliste imaginé pour donner aux élèves qui passeront le bac en 2006 une note de TPE sans TPE nous plonge dans la stupeur et l’incompréhension.

Il ne s’agit en aucune façon d’une évaluation des TPE de Première, ni de la démarche, ni de la production finale, ni de la présentation orale des candidats. Les élèves qui se sont beaucoup investi dans leur TPE mais connaissent des difficultés dans les disciplines concernées risquent fort de ne pas être récompensés de leurs efforts. En outre, cette procédure de notation nie le caractère interdisciplinaire des TPE et ne tient aucun compte des qualités mises en valeur à travers ce dispositif.

Nous regrettons une nouvelle fois que les TPE aient été supprimés en Terminale sans évaluation sérieuse du dispositif tel qu’il a fonctionné dans les établissements : nous attendons qu’une réflexion soit ouverte."

4. ROC

Monsieur Moisan nous a donné quelques précisions lors de notre entrevue avec lui, le 20 mai. Il a redit les mêmes choses et dans les mêmes termes devant le CSIREM, le 3 juin. Voici en substance son discours :

« La nouveauté du bac cette année sera la présence d’une « ROC » (restitution organisée de connaissances). Nous avons différé son application d’un an pour permettre aux professeurs d’y préparer leurs élèves. Cela fait partie d’un ensemble d’évolutions, et nous comprenons que cela suscite des interrogations. Le contexte de cette nouveauté est celui d’une évolution générale de l’épreuve écrite du baccalauréat, dans le souci d’améliorer la pertinence de l’enseignement des mathématiques en section S pour aider à la poursuite d’études en mathématiques. Un point important de ce travail est un effort sur l’apprentissage de la logique. J’ai lu le texte de l’IREM de Strasbourg (analyse des exercices sur les suites dans les banques d’exercices de l’inspection, faites dans le contexte d’une étude sur l’enseignement des suites. Voir annexe 3.) Nous avons testé des sujets et nous avons fait des observations analogues. Les nouveaux programmes de TL portent aussi l’effort sur la logique. Des réactions d’élèves nous donnent à réfléchir : ils nous disent « dans ces nouvelles épreuves, on nous demande de réfléchir alors qu’avant, on appliquait simplement des formules. »

Une difficulté de cet exercice est de lister les démonstrations de cours : si on pointe les démonstrations explicitement inscrites au programme, on en trouve peu ; c’est pourquoi on a fait une extension , on s’est permis d’aller plus loin, en définissant bien ce que les candidats sont supposés savoir. Les élèves nous ont dit : « on va avoir 10 démonstrations à apprendre par cœur », et les professeurs nous ont dit : « les élèves vont entrer 10 démonstrations dans leur calculette ». L’objectif est tout le contraire : que les élèves sachent montrer qu’ils ont compris un certain nombre de bases du raisonnement mathématique. A l’occasion des expérimentations, nous avons privilégié un travail sur le langage. Que signifie « une suite non majorée », « une suite qui ne tend pas vers l’infini » ? Certains pensent que cela doit être travaillé plus tard ; nous ne le pensons pas. Nous sommes d’avis que cela doit être travaillé au lycée. »

A suivre....

5. Partenariat en mathématiques de lycées de Seine-Saint-Denis avec des élèves de l’ENS Ulm

A l’initiative de Farid Bouccekine, qui aime en particulier le site « culture mathématique de l’ENS d’Ulm, un partenariat a été organisé entre 3 lycées de l’académie de Créteil (d’Aulnay, Drancy, Bobigny) et des étudiants de l’Ecole Normal de la rue d’Ulm. Une trentaine de lycéens de seconde travaillent de façon régulière sous la houlette d’une quinzaine de normaliens. Après une intervention d’un après-midi de Xavier Carouso sur 3 sujets (logique, arithmétique, constructions à la règle et au compas), les élèves ont eu à chercher des problèmes sur ces trois sujets. Ils ont travaillé en groupe en liaison, par mail ou par téléphone, avec les normaliens, chacun tuteur de deux élèves.

Cinq après-midi de travail ont en outre été programmées de février à juin, au cours desquelles les lycéens viennent travailler à l’ENS pendant deux heures et demie avec les normaliens.

Bruno Decroix, professeur au lycée de Bobigny, nous racontant cette belle histoire, se dit impressionné par la disponibilité des uns et des autres et par la générosité manifestée par les normaliens. 13 de ses élèves participent à l’opération, et il espère l’étendre un peu l’année prochaine.

A suivre, donc.

Certes, il n’y a qu’une ENS d’Ulm, mais les établissements de renom abondent partout, avec des étudiants conscients d’avoir réussi des études prestigieuses et apporter leur aide à des lycéens. C’est une idée à creuser !

Nous espérons lire un de ces jours dans PLOT ou dans le Bulletin vert un récit plus détaillé de cette aventure. Bruno Decroix commence à y penser !

6. Texte d’Orientation (voir annexe 4)

Pascale Pombourcq présente la partie « lycée » du texte d’orientation en préparation, déjà exposée lors du séminaire national des 4 et 5 juin. L’idée essentielle est de différencier davantage l’enseignement des mathématiques au lycée, tout en maintenant un pallier d’orientation en fin de seconde. L’option sciences expérimentée dans l’académie de Montpellier a un grand succés et donne satisfaction. L’APMEP demande sa généralisation comme enseignement de spécialisation en seconde, préparant à la voie S, puis sa poursuite en première S, avant une différenciation de la terminale S en 4 voies, d’horaires et de contenus différents. Il semble que l’inspection générale soutient des projets assez similaires et que la DESCO commence à réfléchir à un renforcement des horaires de mathématiques en première et terminale scientifique. (Renforcement présent d’ailleurs dans le texte de la loi d’orientation.).

L’option sciences s’étendra à la rentrée à 15 lycées dans l’académie de Montpellier, et ouvrira officiellement dans l’académie d’Aix-Marseille. Les documents divers sur cette option commencent à affluer. Un exemple est donné en Annexe 5.

Ce document et beaucoup d’autres sont présents sur le site de l’académie de Montpellier à l’adresse : http://pedagogie.ac-montpellier.fr/....

La commission lycée se propose de réunir toutes les informations et toutes les ressources disponibles pour faire circuler les idées et partager les expériences sur cette option, que l’APMEP supporte et encourage vigoureusement depuis sa naissance.

7. EVAPM

Antoine Bodin présente un projet d’étude sur le bac S. Il précise que nous avons le soutien de l’inspection générale (Jacques Moisan, à qui nous avons présenté le projet avec Michel Fréchet, au nom de l’APMEP) et que nous avons l’accord de la directrice de la DESCO qui nous a mis en contact avec le responsable du baccalauréat à la DESCO

L’équipe de professeurs enseignant en terminale reste à compléter., les autres membres de l’équipe restent à préciser.

Il doit rencontrer Claude Thélot pour lui demander conseil sur la méthodologie (en particulier sur la question du choix de l’échantillon) , ce qui pourrait contribuer à crédibiliser l’étude.

Il propose un projet de protocole (Voir annexe 6 ) sur lequel nous travaillons dimanche après-midi avant de clore une réunion. Bien remplie !

ANNEXES

Annexe 1 : Une note de monsieur Piednoir sur la série SMS

Les programmes de mathématiques de la série SMS actuellement en vigueur sont anciens et ne sont plus adaptés du fait des évolutions récentes du système éducatif aussi bien en amont qu’en aval. Le programme de seconde a été changé et il y a donc rupture entre ce qu’on étudié les élèves et les présupposés du programme de 1ère. De même l’un des débouchés prestigieux de la section : l’Institut de soins infirmiers sélectionne ses étudiants sur la base de compétences ignorées par le programme de terminale.

Alerté par les professeurs, l’Inspection générale avait demandé que de nouveaux programmes soient mis en oeuvre. Une commission a travaillé et a proposé de nouveaux contenus qui ont globalement été bien accueillis par les partenaires. On ne peut être qu’inquiet pour la qualité de la formation dispensée aux élèves et pour leur avenir du report (au mieux) ou de l’abandon d’une réforme de l’enseignement des mathématiques dans la série SMS.

Jean-Louis PIEDNOIR

Annexe 2 : circulaire du 20 mai 2005 sur les TPE

Paris le 20 mai 2005

Le Directeur de l’Enseignement scolaire

A Mesdames les Rectrices et Messieurs et Recteurs d’Académie

Objet : Prise en compte des travaux personnels encadrés de 1ère au baccalauréat

Conformément aux engagements pris par le Ministre, les TPE des élèves en classe de 1ère pourront être pris en compte au baccalauréat, dans les conditions suivantes, fixées après consultation du Conseil national de la vie lycéenne qui s’est réuni le 13 mai 2005. Les textes réglementaires seront présentés le mois prochain au Conseil supérieur de l’Education.

1) Elèves actuellement en 1ère

La procédure transitoire de notation des TPE effectués en 2004-2005 par les élèves de 1ère consistera pour le candidat à choisir, à l’inscription au baccalauréat 2006, l’une des disciplines d’appui de ses TPE. Les points supérieurs à la moyenne, obtenus dans cette discipline lors des épreuves terminales, seront ajoutés au total des points obtenus à l’issue du premier et du second groupes d’épreuves, avec un coefficient 2.

Exemple : Un élève qui a conduit cette année en classe de première un TPE en « histoire » et en « anglais », pourra choisir, au titre des TPE, de faire prendre en compte les points supérieurs à 10 qu’il obtiendra soit à l’épreuve d’histoire-géographie, soit à l’épreuve d’anglais.

Il fait le choix de la discipline au moment de son inscription au baccalauréat, au mois d’octobre 2005.

S’il a choisi « histoire » et s’il obtient la note de 14 à l’épreuve écrite « d’histoire -géographie », il bénéficiera alors de 4 x 2 soit 8 points TPE.

Ces 8 points seront automatiquement ajoutés au total des points obtenus aux épreuves du premier groupe (et aux épreuves de second groupe si ce candidat doit passer les épreuves de « rattrapage »)

Par ailleurs, sa note de 14 en « histoire-géographie » sera prise en compte normalement dans son examen.

a) Modalités

Prise en compte à l’examen des points supérieurs à la moyenne obtenus par le candidat à l’épreuve de l’une des deux (ou trois) disciplines d’appui des TPE réalisés en première : épreuve obligatoire du premier groupe ou le cas échéant du second groupe, ou épreuve facultative si la discipline concernée ne donne pas aussi lieu à une épreuve obligatoire.

Le choix de la discipline se fait lors de l’inscription au baccalauréat au début de l’année de terminale. Il est possible dans toutes les disciplines à l’exclusion de celles faisant l’objet d’une épreuve anticipée. Les élèves dont les T.P.E. ont porté sur une discipline faisant l’objet d’une épreuve anticipée pourront opter pour une discipline voisine donnant lieu à une épreuve terminale.

b) La prise en compte des TPE à la session 2006 demeure facultative.

c) Les points obtenus, au-dessus de la moyenne, sont affectés d’un coefficient 2 au titre des TPE, ce qui n’affecte en rien la note obtenue par le candidat dans la discipline choisie qui est elle-même prise en compte normalement (avec son propre coefficient).

2) Elèves en 1ère en 2005-2006

A partir de la session 2007 du baccalauréat, les TPE de 1ère devraient donner lieu à une épreuve anticipée dans des conditions très proches des modalités actuelles des TPE de terminale. Les textes réglementaires définissant ces modalités seront publiés courant juillet, après consultation du Conseil supérieur de l’Education.

* * *

Je vous prie de bien vouloir porter ces informations à la connaissance des proviseurs des lycées et des directeurs des établissements privés présentant des candidats ayant suivi un enseignement de travaux personnels encadrés, et de me rendre compte de toute difficulté qui viendrait à survenir dans sa mise en œuvre (bureau DESCO A3 - Tél. : 01.55.55.39.63).

Annexe 3 : Texte de l’IREM de Strasbourg sur les « ROC »

IREM de Strasbourg Mars 2005

Groupe "Suites"

DIFFICULTES DE LA RESTITUTION ORGANISEE DE CONNAISSANCES, EN PARTICULIER DANS LE DOMAINE DES SUITES

Le contexte

Le thème des suites dans l’enseignement de l’analyse.

La notion de suite occupe dans les débuts de l’enseignement de l’analyse une place qui se justifie à la fois d’un point de vue épistémologique - les suites de Cauchy ne constituent-elles pas une réponse possible au problème fondamental de l’arithmétisation de la droite réelle ? - et du point de vue de son emploi, en mathématiques et dans bien d’autres disciplines, facilité par les développements de l’informatique.

D’un pays à l’autre, la place accordée aux suites est néanmoins très variable. Dans certains cursus, comme en Belgique, on limite les exigences en fin d’enseignement secondaire aux connaissances touchant aux suites arithmétiques et géométriques, et à des compétences spécifiques concernant le raisonnement par récurrence. Voir http://www.enseignement.be/gen/syst...

Dans les pays où l’enseignement est organisé par unités conduisant à l’obtention de crédits, comme par exemple au Canada ou aux Etats-Unis, les suites peuvent se trouver dans des unités de mathématique pure ou dans des unités du type mathématiques et applications financières. Voir par exemple, pour l’enseignement canadien en langue anglaise, le site officiel de l’Ontario http://www.edu.gov.on.ca/eng/docume... ou rechercher le "Standard 7" dans un site assez bien représentatif des exigences aux USA http://www.brownsburg.k12.in.us/cur...

En France, le thème des suites dans les programmes 2001-2002 de l’enseignement secondaire (classes de 1e et Terminales S) occupe une place plus importante que dans les programmes précédents. Si de plus on tient compte de la réduction d’ensemble des horaires de mathématiques, le poids de ce chapitre s’en trouve encore accru.

Classe de première S : programme arrêté le 9 août 2000. BO hors série n°7 du 31 août 2000.

Classe terminale S : programme arrêté le 20 juillet 2001. BO hors série n°4 du 30 août 2001.

C’est pourquoi, l’IREM de Strasbourg a souhaité que l’un de ses groupes de travail consacre son activité à une réflexion et à des expérimentations sur l’enseignement des suites en 1e et en Terminale, voire en DEUG de math.

Les exercices comportant une Restitution Organisée de Connaissances

Deux références sur le sujet sont la note de service n° 2003-070 du 29-4-2003 http://www.education.gouv.fr/bo/200... et les exemples d’exercices diffusés par l’Inspection Générale de Mathématique qui peuvent être consultés par exemple sur le site EduSCOL http://eduscol.education.fr/index.p...

Il est intéressant par ailleurs de consulter le document de l’Inspection Générale de mathématiques sur l’état de la discipline en 2002 ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edu... car ce document expose des préoccupations sur l’acquisition d’une culture mathématique, incluant notamment la place du raisonnement et de la démonstration.

Parmi les trente-deux exemples d’exercices contenus dans le document précité, six portent explicitement sur les suites (Exercices n°6, n°13, n°14, n°22, n°26, n°31). Nous y reviendrons plus loin.

Essais et observations

Approche du thème des suites par le groupe et constats

Sans se préoccuper directement de la question des sujets de baccalauréat, le groupe "Suites" s’est proposé d’examiner comment les élèves, en 1e et en Terminale, pouvaient accueillir le thème, quelles difficultés principales s’y rencontraient, quel temps pouvait y être consacré.

Voici quelques-uns des points repérés lors de cette étude :

-  Problème récurrent et persistant encore parmi les étudiants de DEUG des inductions hâtives (suites considérées comme complètement déterminées à partir des trois, quatre ou cinq premiers termes)
-  Difficultés dans la manipulation des indices
-  Difficulté de la notion de variable
-  Multiplicité problématique des comportements à l’infini : une suite peut être convergente, ce qui ne s’accompagne pas nécessairement de monotonie contrairement à une intuition présente a priori chez beaucoup d’élèves, ou divergente, et dans ce cas elle peut avoir une "limite infinie" ou pas de limite du tout
-  Nouveauté de l’égalité à l’infini pour les limites : dans une égalité du type , le symbole apparaît une fois derrière une flèche et une fois derrière le signe « = ». Cet emploi incite par exemple à écrire, lorsque u et v ont toutes deux comme limite , que .
-  Difficulté de notions comme « pour tout n », « il existe n »... On constate que même les étudiants de DEUG maîtrisent mal l’usage des quantificateurs, et pourtant leur compréhension intuitive est indispensable même si on ne les formalise pas dans les démonstrations de limites, de majorants ou pour formuler la négation de certaines propriétés
-  Manque de maîtrise du calcul Difficultés spécifiques à la restitution organisée de connaissances

Une des ambitions des programmes actuels est de définir la convergence et la notion de limite infinie d’une suite.

On lit dans les programmes de 1ère S : « Le travail demandé [...] à propos de la définition de la convergence est de nature épistémologique ; il sera présenté aux élèves comme tel et pourra permettre d’amorcer une réflexion, poursuivie en terminale, sur la nature des mathématiques. »

Ou encore : « En analyse, [...] la plupart des objets manipulés ne sont pas définis formellement à ce niveau d’études, et les élèves ne peuvent pas aboutir à des démonstrations parfaitement achevées : la nature et le niveau des rédactions exigibles ne peuvent pas être les mêmes (qu’en géométrie). Il conviendra donc, à ce niveau d’étude, en particulier en analyse, d’accepter des argumentations conçues et exposées à l’aide de schémas (même si les élèves ne peuvent pas à ce stade les traduire en un texte linéaire). »

On peut raisonnablement en déduire qu’en première et terminale S, l’enseignant se doit de présenter une définition rigoureuse de la convergence et de la limite infinie d’une suite, de les rendre accessibles au maximum d’élèves et de leur montrer quelques exemples d’utilisation, mais que le travail de l’élève est simplement de comprendre ce que son professeur lui expose et éventuellement de savoir l’appliquer en classe lors d’un travail bien encadré, ce qui exige déjà de réelles capacités d’abstraction.

La simple compréhension de ces définitions nécessite une bonne maîtrise des inégalités, de l’implication et des quantificateurs même s’ils ne sont pas traduits en langage formel. Elle exige de plus une connaissance très fine de la langue qui n’est pas très cultivée actuellement, ni par l’école, ni par la société.

- Hypothèse 4 : Il y a une bonne adéquation entre ce que l’épreuve révèle des connaissances et des compétences des candidats et les notes qui leur sont attribuées.

La mise à plat des connaissances et des compétences observées, premier objet de l’étude, sera évidemment à rapporter aux hypothèses ci-dessus.

Méthodologie

La méthodologie de l’étude fait appel aux méthodes liées aux études qualitatives et à celles qui sont liées aux études quantitatives.

Le cœur de l’étude se trouve cependant dans l’observation et l’analyse qualitative des contenus des copies.

Les copies sont représentées par un échantillon de 400 copies de bac S fournies par l’administration...

Ce point est essentiel pour assurer la validité et la crédibilité de l’étude.

En fait nous demandons à l’administration de nous fournir les photocopies anonymées de ce corpus de copies.

L’échantillon devra être composé de façon à être représentatif de l’ensemble des académies et des centres d’examen.

Les notes attribuées à ces copies ainsi que le détail de l’attribution des points seront accessibles et utilisables dans le cadre de l’étude.

Plus globalement, les statistiques nationales des résultats de l’épreuve seront aussi mises à la disposition de l’étude

L’étude du sujet

- Analyse du recouvrement curriculaire.
- Analyse des tâches (analyse a priori)
- Analyse de la complexité cognitive.
- Analyse suivant la typologie des compétences utilisée par PISA.

Ces analyses seront commencées dès que le sujet sera connu.

L’analyse du contenu des copies

C’est le point central de l’étude.

Il suppose la mise au point d’un instrument de recueil de l’information.

Une méthode d’analyse de contenu sera spécialement mise au point en s’inspirant des travaux de la recherche sur le sujet et, si possible, en nous faisant aider par un(e) spécialiste.

Un travail particulier devra en effet être fait pour décider de la segmentation des productions écrites, de la labellisation des segments et de la lemmatisation des contenus.

Ce point est, évidemment, totalement déconnecté de toute idée de notation.

Des grilles de codage et de recueil de l’information seront établies en accord avec l’ensemble des personnes impliquées dans l’étude et seront ensuite communes à l’ensemble des codeurs.

L’analyse des données

Bien que l’approche qualitative soit centrale dans l’étude, l’apport possible des méthodes quantitatives ne sera pas négligé. En particulier, nous prévoyons :

- Une analyse des corrélations entre le contenu et la distribution des points produite par la notation effective (barème et points réellement attribués).
- Une analyse implicative (méthode R. Gras).
- Une analyse de régression continues (IRT et modèle de Rash),

Enfin, la prise en considération des statistiques nationales permettra de tester la qualité de l’échantillon.