• « Formes et variables de la démonstration mathématique »
  Une étude élémentaire.
  Conférence de Gilbert Arsac, Université Lyon I
  Journée de la Régionale de Lyon du samedi 13 novembre 2004

Rôle de la figure

Lorsqu’il initie ses élèves au calcul littéral, l’enseignant insiste sur le fait qu’en calculant avec des lettres, on traite un cas général. On peut se demander comment cette question de la généralité est résolue en géométrie : suffit-il de prendre garde à raisonner sur une figure quelconque ? L’étude de cette question permet de voir sous un jour différent le rôle de la figure dans la démonstration en géométrie. Bien entendu, Euclide s’était déjà posé la question…

Résumé

Dans cet exposé, nous essayons de regrouper un ensemble de remarques sur la démonstration mathématique, fondées sur une étude de son fonctionnement qui prenne en compte aussi bien le niveau scolaire que celui de la recherche.

Il s’agit d’une étude élémentaire en ce sens qu’elle ne fait appel à aucune théorie logique abstraite, mais cherche à serrer au plus près la pratique effective. Nous espérons qu’elle puisse être considérée comme une connaissance de base pour tout enseignant de mathématiques.

Une question fondamentale est celle de la variété apparente des textes de démonstration (Houdebine, 2001). Nous essaierons de montrer que ce foisonnement peut être expliqué, donc compris, comme l’effet produit par deux variables qui sont le domaine mathématique concerné d’une part, le niveau visé d’autre part. De ce point de vue, notre travail est un travail de synthèse permettant de relier entre elles des questions qui semblaient distinctes.

En ce qui concerne le domaine, nous remarquons que l’étude de la démonstration en géométrie plane conduit en général à la réduire à des enchaînements logiques simples. Nous montrons, par comparaison avec l’algèbre et l’analyse qu’en se limitant au domaine de la géométrie plane on laisse nécessairement dans l’ombre un certain nombre de phénomènes qui apparaissent au contraire de façon éclatante dans d’autres domaines.

En ce qui concerne le niveau, c’est-à-dire, en langage didactique, l’institution dans laquelle se développe la démonstration, nous montrons là aussi que certains phénomènes concernant la démonstration ne peuvent pas être perçus tant qu’on se limite à des démonstrations élémentaires.

Nous formulons au long de notre étude un certain nombre de questions qui nous semblent nouvelles et en conclusion, nous dégageons quels sont les aspects de la démonstration qui ne peuvent pas être appris si on se limite à la géométrie plane, domaine d’initiation classique à la démonstration, ce que nous ne remettons pas en cause.

Plan de la conférence

• La démonstration en géométrie
  énoncé, hypothèse, raisonnement et conclusion
  • Hypothèse, conclusion, boîte à outils et démonstration
  • Un exemple de démonstration par enchaînement de pas de déduction
  • Données et hypothèses
• La démonstration en algèbre
  nécessité et généralité, exemple générique, données et hypothèse
  • Nécessité et généralité, exemple générique
  • Étude d’exemples. La démonstration en algèbre
  • Donnée ou hypothèse (à nouveau) ?
  • Le cas de la géométrie
• La démonstration en analyse et le jeu des variables
  • Exemple : les limites ; le statut des variables
  • Contextes d’apparition de la dépendance des variables
• Prémisses, invention et rédaction d’une démonstration
• Conclusion
• Bibliographie