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De la méthode, Recherches en histoire et philosophie des mathématiques

Paul Louis Hennequin

ouvrage dirigé par Michel SERFATI.

Presses Universitaires Franc-Comtoises 2002 (Diffusion : CiD, 131 Bd St-Michel-Paris)

ISBN : 2-84867-000-2

356 p.

22 € . Ce recueil contient dix articles d’histoire et philosophie des mathématiques exposés au séminaire d’épistémologie de l’IREM de Paris VII ou dans un colloque organisé par cet IREM. La cheville ouvrière de l’ensemble, Michel SERFATI, qui est à la fois mathématicien et philosophe, avait publié un premier volume (La recherche de la vérité) en 1999 (cf. Bulletin n°429, p. 516).

L’ouvrage privilégie les questions d’histoire des idées et d’épistémologie par rapport à des descriptions purement historiques et met en lumière les diverses facettes qui organisent en mathématiques ce que Descartes appelle la méthode.

Après une introduction où il présente en 35 pages les différentes contributions et la construction de l’ensemble, Michel Serfati développe en une cinquantaine de pages le cheminement mathématique du jeune Descartes, en détaillant trois exemples : le compas cartésien, la transformation de Descartes et la construction des racines des équations du troisième et du quatrième degré.

Adrien Douady (Géométrie dans les espaces de paramètres) en une vingtaine de pages montre sur trois exemples : intersection de cercles, retournement d’une droite, polynômes de degré 4 dont on donne les racines de la dérivée, comment des problèmes variés se ramènent à des questions de géométrie dans un espace approprié.

Rémi Langevin analyse ensuite en une trentaine de pages (Gaspard Monge, de la planche à dessin aux lignes de courbure) l’œuvre de Gaspard Monge et la façon dont son expérience du dessin a influencé sa manière de raisonner en mathématiques et dont son souci pédagogique d’expliquer à la fois les notions mathématiques et leurs applications l’a conduit à représenter de manière précise les objets mathématiques.

Dans la ligne du titre de l’ouvrage, André Revuz pose la question : y a-t-il une méthode mathématique ? Et, fort de son expérience de chercheur et d’enseignant, il y répond en 20 pages, abordant plusieurs questions : démontre-t-on tout ?, comment choisir les axiomes ?, rigueur et audace, l’imagination, le travail et l’inconscient, les mathématiques et la réalité ; il caractérise la démarche du mathématicien par le triplet : situation, modèle, théorie. En conclusion, il souhaite que le système éducatif soit repensé entière- ment de manière à favoriser l’initiative, la concertation et l’évaluation.

Olivier Hudry (Machines de Turing et complexité algorithmique) esquisse en 20 pages le rôle des machines de Turing, déterministes et non déterministes, en théorie de la complexité des algorithmes et des problèmes.Cela permet de décrire les classes fondamentales : P, NP, co-NP et d’énoncer les conjectures qui s’y rattachent.

La première partie de l’ouvrage, « La force de la méthode » s’achève par l’article d’Ivor Grattan-Guinness, traduit par Anne Michel-Pajus : La psychologie dans les fondements de la logique et des mathématiques. L’auteur y examine successivement en trente pages les cas de Boole, Cantor et Brouwer et comment chacun d’eux a laissé aux processus mentaux quelque rôle dans les fondements de ses théories logiques ou mathématiques.

La seconde partie, « L’existence en mathématiques » comporte quatre articles. Dans le premier (Thèses d’existence et travail mathématique), en vingt-cinq pages, Alain Michel rappelle quelles furent les étapes de la constitution en problème de l’existence en mathématiques et analyse sur l’exemple de Kronecker les modalités précises selon lesquelles les thèses d’existence l’ont mené à son travail spécifique.

Dans le second, (Analyse et « prolongements ») en cinquante pages, Michel Serfati analyse épistémologiquement et historiquement les modalités de création d’objets mathématiques ; il met en évidence sur plusieurs exemples, de Newton et Leibniz (l’exponentielle) à Laurent Schwartz (les distributions), le principe du « prolongement », figure de pensée spécifique de l’invention mathématique.

Ensuite Michel Bitbol (Critères d’existence et preuves d’existence), en vingt pages, applique aux questions d’existence en physique moderne deux instruments d’analyse dus à Wittgenstein : la différence entre critères et symptômes et la pluralité des sens du mot « existence » selon le type de preuve.

Enfin Jean Mosconi (Quelques difficultés du structuralisme mathématique), en 30 pages, se pose la question : dans quelle mesure peut-on considérer qu’il existe des objets mathématiques en soi, c’est à dire autrement que dans leur rapport avec des structures dont ils feraient consubstantiellement partie ? Il traite en particulier la critique par Russell des axiomes de l’arithmétique de Peano.

On voit sur ce rapide résumé combien chaque article apporte un éclairage spécifique sur l’épistémologie de notre discipline et il faut remercier les auteurs et en particulier Michel Serfati de les avoir rédigés, ras- semblés et publiés ; chacun peut être abordé indépendamment des autres et satisfera le lecteur qui privilégie tel ou tel point de vue ou s’intéresse à une époque ou à un mathématicien. L’ouvrage rendra de grands services aux enseignants pour répondre aux questions de leurs élèves sur la place des mathématiques dans l’ensemble des connaissances et à tous les futurs professeurs par la variété des exemples traités.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)