Démonstration ou définition ?

Yannick Masse

J’ai lu avec intérêt le texte : Le calcul au collège, paru dans le Bulletin n° 455. Néanmoins, je ne suis pas d’accord avec le passage de la page 790 qui prétend démontrer » : $\frac{a}{b}+ \frac{c}{b}= \frac{a+c}{b} $.

Le principe de « permanence des propriétés sur les opérations », invoqué dans le texte, ne saurait avoir une quelconque valeur démonstrative, sans quoi, de la commutativité de la multiplication dans l’ensemble des nombres complexes, on pourrait inférer la même propriété dans l’ensemble des quaternions !

Quant à l’égalité citée plus haut, ce ne saurait être autre chose qu’une définition ayant sa source dans la constatation triviale : « $ \frac{2}{7}$ de gâteau “ ajoutés ” à $\frac{3}{7}$de gâteau, cela fait $ \frac{5}{7}$de gâteau ».

Naguère, après quelques constatations du genre « $\frac{3}{4}$ de gâteau ou $\frac{6}{8}$ de gâteau, c’est la même quantité », on définissait l’équivalence de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ par a × d = b × c ; on définissait alors un rationnel comme une classe pour cette relation.

À nouveau, après quelques constatations du genre : « $\frac{2}{3}$ de $\frac{4}{5}$ de gâteau, c’est $\frac{8}{15}$ de gâteau », on définissait le produit de deux fractions sous la forme : $\frac{a}{b} x \frac{c}{d} = \frac{axc}{bxd}$

Ce ne sont pas les propriétés des opérations qui permettent de les définir, c’est leur définition qui permet d’étudier leurs propriétés.