La place prépondérante accordée par les programmes du cycle 2 aux apprentissages
numériques et quelques habitudes du corps enseignant réduisent souvent la
géométrie à des apprentissages étiques. Ces apprentissages restent bien souvent
limités aux supports papier-crayon et la durée qui leur est consacrée est insignifiante.
Ainsi, les rares activités géométriques que l’on peut observer en cycle 2 concernent
essentiellement l’utilisation des outils, notamment règle et équerre, pour réaliser des
tracés, sans que leur sens n’ait été construit suite à des activités de « mesure de la
Terre », sens étymologique du mot.

La géométrie est pourtant une discipline majeure, à la fois par son histoire et par le
lien direct qu’elle peut entretenir avec le monde qui entoure l’élève. Son
enseignement peut être l’occasion de « donner de la chair » aux apprentissages
mathématiques, selon la formule utilisée par André Deledicq à l’occasion des
cérémonies du centenaire de l’APMEP.

Nous nous proposons ici d’analyser rapidement les programmes de géométrie de
cycle 2, puis d’amorcer quelques pistes de travail possibles à ce niveau des
apprentissages, en lien direct avec les programmes de 2008, du référentiel de
compétences exigibles en fin de cycle 2 et des progressions figurant aux programmes
de ce cycle.

Programmes de géométrie du cycle 2 (programmes de 2008 [1])

La partie des programmes concernant la géométrie , très indigente, est plutôt vague.
Elle est si condensée qu’on peut la citer in extenso :
« Les élèves apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides.
Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures
planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique. » (hors repérage dans l’espace – une
demi-ligne supplémentaire –)
On ne dit évidemment pas comment vérifier qu’une figure est plane ! Les figures et
solides dont il est question sont précisés dans la partie « progressions » des
programmes [2], les procédures de reconnaissance ne sont pas indiquées.
La rubrique des programmes concernant grandeurs et mesures se résume à «  Les
élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m),
[…] Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, […]. ».
Oubliant d’évoquer le sens même des grandeurs, cette partie très succincte, ouvre
cependant une porte intéressante, celle de la résolution de problèmes en géométrie.

Progressions et compétences de fin de cycle en géométrie

Aux programmes actuels de l’école, sont associées depuis leur parution en 2008, des
progressions en mathématiques et en français. Le Bulletin officiel du 5 janvier 2012
fixe des progressions dans les autres disciplines. Ces progressions, loin de conserver
une unité de cycle, procèdent niveau par niveau, contribuant ainsi à un nouveau
découpage, souvent artificiel des apprentissages. Elles sont accompagnées de
compétences de fin de cycles.

Par exemple, la compétence 3 de fin de cycle 2 : «  L’élève est capable d’observer et
décrire pour mener des investigations  » permet de transformer l’élève en chercheur
et confère donc un rôle important à la résolution de problèmes y compris en
géométrie et ce, dès le cycle 2. Cette troisième compétence précise par ailleurs que
l’élève doit être capable de «  reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les
solides usuels, d’utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un
carré, un rectangle, un triangle rectangle, d’utiliser les unités usuelles de mesure ;
estimer une mesure ; d’être précis et soigneux dans les tracés, les mesures, de
résoudre des problèmes très simples ». Ici, et non dans les programmes proprement
dits, figure une liste d’objets mathématiques que l’élève doit connaître suffisamment
bien. Cette compétence complète le libellé trop succinct du programme en
fournissant quelques indications plus claires à l’enseignant.

Les progressions, qui accompagnent les programmes, sont plus précises, mais ne sont
qu’une liste de points que le maître doit aborder, sans aucune indication d’un ordre
dans lequel elles pourraient l’être et sans fournir de piste susceptible de guider
l’enseignant. Sans doute pour lui permettre d’exercer pleinement sa liberté
pédagogique ! Elles confirment la connaissance des figures citées ci-dessus et
indiquent que l’élève, en fin de CP, doit être capable de
  reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle.
 reproduire des figures géométriques simples à l’aide d’instruments ou de
techniques : règle, quadrillage, papier calque.
 reconnaître et nommer le cube et le pavé droit.
 s’initier au vocabulaire géométrique.

En fin de CE1, il doit être capable
  de décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle.
 d’utiliser des instruments pour réaliser des tracés : règle, équerre ou gabarit de
l’angle droit.
 de percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques :
alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs.
 de connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié.
 de reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé, …

On pourra apprécier la précision des points de suspension dans la liste des solides
droits. On peut remarquer que l’élève de CP doit pouvoir reconnaitre un carré et
surtout un rectangle, alors que l’angle droit n’est pas prévu à son programme, ni
d’ailleurs la notion de segment de droite ou d’alignement de points (qui pourtant
forment les côtés de certaines figures remarquables) ! L’angle droit figure
explicitement dans la progression du CE1, ce qui permet d’introduire le triangle
rectangle, de même l’alignement de points. Que sont alors les côtés des figures de
référence citées pour un élève de CP ? La réponse ne se trouve pas sous la rubrique
géométrie, mais à la rubrique grandeurs et mesures où il est indiqué qu’en CP, l’élève
doit être capable
 de comparer et classer des objets selon leur longueur
(Ce dont on a besoin pour distinguer carré et rectangle (non carré) ! Le
concept de longueur est sous-jacent, il conviendra donc de le mettre en place.)
 d’utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs
(Étymologiquement, le mot segment désigne une partie d’un tout obtenue par
coupure. On peut deviner qu’il s’agit ici de segment de droite et pas de
parabole ou d’autre chose, mais en quoi la règle graduée est-elle un outil pour
tracer des segments ? Sans doute le texte veut-il suggérer que l’élève doit être
capable de tracer un segment de longueur donnée. Ce texte semble imposer
l’usage de la règle graduée pour comparer des longueurs, mais peut-être pas
exclusivement. Il semble imposer de faire figurer au programme de CP la
mesure des longueurs et de définir la notion de segment (de droite) sans
évoquer le concept de droite.)
 de résoudre des problèmes de la vie courante
(Qu’est-ce qu’un problème de la vie courante en géométrie au CP ? Le
programme ne donne aucune indication à ce sujet, sans doute encore pour
préserver la liberté pédagogique de l’enseignant…)

En CE1, sous la même rubrique grandeurs et mesures, on peut noter que l’élève doit
être capable de
 connaître la relation entre […] mètre et centimètre, kilomètre et mètre […],
(On peut noter ici un petit travail intéressant à mener au niveau de la langue)
 mesurer des segments, des distances.
(La notion de distance ne figure pas dans les programmes. Se distingue-t-elle
de la notion de longueur d’un segment, comment la définir ou la mettre en
place avec les élèves ?)
 résoudre des problèmes de longueur […].
(Ces problèmes pourraient donc apparemment ne plus relever de la vie
courante.).

Autres disciplines de l’école et géométrie

On peut s’étonner de ce sous-titre. Effectivement, les programmes des autres
disciplines de l’école ne sont pas des programmes de géométrie et ne font pas
directement référence à cette discipline. Il est cependant possible d’en extraire
quelques pistes permettant de donner davantage de corps à la géométrie, notamment
par le vocabulaire et la découverte du monde.

À la rubrique vocabulaire
À cette rubrique, on peut lire « Par des activités spécifiques en classe, mais aussi
dans tous les enseignements, l’élève acquiert quotidiennement des mots nouveaux.
En étendant son vocabulaire, il accroît sa capacité à se repérer dans le monde qui
l’entoure, à mettre des mots sur ses expériences […] ».
On peut raisonnablement en déduire que l’élève doit pouvoir acquérir en
mathématiques les mots lui permettant de se repérer dans le monde qui l’entoure, de
décrire des expériences qu’il pourrait y réaliser et de donner tout leur sens à ces mots.

À la rubrique découverte du monde
On peut y lire : « [Les élèves] acquièrent des repères dans […] l’espace, […] et
maîtrisent le vocabulaire spécifique correspondant. Ils dépassent leurs
représentations initiales en observant et en manipulant ». Ce paragraphe précise
l’importance pour les élèves de manipuler dans l’espace et de pouvoir en rendre
compte. Il est consolidé par « Les élèves découvrent et commencent à élaborer des
représentations simples de l’espace familier : la classe, l’école, le quartier, le village,
la ville. […] Ils découvrent des formes usuelles de représentation de l’espace
(photographies, cartes, mappemondes, planisphères, globe). » Il s’agit dès lors de
devoir représenter l’espace qui entoure l’élève. Un outil est suggéré dans la même
rubrique : « Les élèves découvrent et utilisent les fonctions de base de l’ordinateur. »

On peut donc, considérant que l’apprentissage d’un logiciel de géométrie fait partie
des fonctions de base de l’ordinateur, en déduire que l’apprentissage d’un tel logiciel
fait partie intégrante des apprentissages géométriques dès le cycle 2.
La compétence
4 attendue en fin de cycle 2 renforce ce point de vue : «  L’élève est capable de
commencer à s’approprier un environnement numérique ».

Conclusion à propos des textes officiels

Les programmes de cycle 2, largement dénoncés lors de leur mise en place,
manquent de cohérence, de précision et d’indications pédagogiques à destination des
enseignants. Ils suggèrent de mettre en valeur des travaux d’investigation, ce qui
ouvre grande la porte aux problèmes de géométrie, mais ne fournissent aucune
indication quant aux stratégies pour faire émerger les concepts clés.

Quelques suggestions pour la mise en œuvre de ces programmes.

Tout d’abord, nous pensons qu’il n’y a pas lieu, comme le montrent certaines
remarques faites plus haut, de séparer artificiellement, à ce niveau des
apprentissages, géométrie et grandeurs et mesures. Nous considèrerons d’ailleurs
qu’une compétence première de l’élève est d’être capable de comparer deux objets
selon leurs longueurs. Cette affirmation constituera un des points de départ de notre
proposition qui considèrera aussi comme premier le concept de ligne, car les lignes [3]
peuvent être perçues dans l’espace sensible comme des objets matériels (ficelle,
cordes, fils électriques, routes, fleuves, etc.) ou immatériels (frontières par exemple)
et qu’elles peuvent être représentées sur le papier par un trait de crayon. Elles sont
ainsi accessibles aux élèves tant dans le domaine sensible que dans l’univers
représenté. De même, sera considéré comme premier le concept de point qui sera
défini comme intersection propre de deux lignes, tant dans l’espace réel que sur le
papier.

Nous pensons aussi que la répartition des points de programmes d’une part en CP et
CE1 est purement artificielle et n’a pas à être respectée par les enseignants puisque
la loi instituant les cycles reste toujours d’actualité et que ces programmes de
géométrie ne peuvent trouver leur cohérence que s’ils sont pris en compte
globalement à l’échelle du cycle.

En conséquence, les analyses qui suivent s’inscrivent dans un enseignement par
cycle et prennent en compte simultanément les aspects géométrie et grandeurs et
mesures.

La notion d’alignement

La notion d’alignement nécessite de dire ce qui constitue l’alignement. À Carnac, les
alignements sont constitués de menhirs, en mathématiques, ils concernent des points,
mais le mot point ne figure pas dans les programmes de cycle 2. Il n’apparaît qu’au
cycle 3. L’alignement sera donc tout d’abord vécu par les élèves dans le monde réel,
avec des objets réels (arbres, chaises, plots, élèves, piquets, etc.).
Mais que veut dire ce nom ? Ce nom est constitué de trois éléments : a-, qui indique
un mouvement vers, -lign-, -ement, suffixe nominal. Des objets ou des points sont
donc dits alignés si et seulement si ils sont disposés sur une seule et même ligne.
Cette ligne pourrait ne pas être droite, ainsi peuvent être frappées d’alignement des
constructions sur un boulevard circulaire… La seule analyse morphologique de ce
mot ne suffit donc pas à définir son sens mathématique. En mathématiques, on dit
que des points sont alignés si et seulement si ils sont situés sur une même droite. Mais
la notion de droite n’est pas au programme du cycle 2. Il convient donc de construire
le concept d’alignement en se passant de ce concept, mais sans ignorer que la notion
de droite gouverne l’alignement.

Que veut dire le mot droite ?

Voyons ce qu’indique un dictionnaire pour l’école : La ligne droite ne dévie pas, c’est
le plus court chemin d’un point à un autre (= direct). À l’entrée direct, on peut lire :
Le chemin est direct pour aller au village, il y va en ligne droite [Larousse Maxi
Débutants]. Les mots droite (droit) et direct semblent donc être intimement liés. Le
mot direct nous renseignera peut-être sur cette proximité. Brio, Ed. Le Robert, 2004
précise que ce mot direct est formé de di(s)- et de –rect-. Il indique que l’élément de
mot di- donne une valeur intensive et que rect- signifie droit, qui tombe droit, qui suit
le chemin le plus court. Le Robert électronique quant à lui définit direct comme
qualifiant ce qui tombe droit, sans détour et droite (droit) comme Ligne dont l’image
est celle d’un fil parfaitement tendu. Direct signifie donc en quelque sorte totalement,
complètement droit. De fait, les deux mots droit et direct proviennent du même mot
directus qui, en latin, signifie sans détour, comme la ligne (trajectoire) que décrit un
objet qui tombe sans vitesse initiale ou un mur vertical.

Une piste pédagogique pour enseigner la notion d’alignement

Le programme propose de comparer des objets selon leur longueur et ouvre ainsi une
porte vers la notion d’alignement.
Le maître, dès le début du CP, pourra inviter les élèves à comparer des objets
filiformes, fils en intérieur, cordes en extérieur, etc. Ensuite il pourra placer plusieurs
cordes dont les extrémités sont deux objets (arbres, etc.) suffisamment éloignés et
laisser les élèves imaginer que ces objets posés sur le sol matérialisent des chemins.
Il s’agira alors de comparer ces chemins et de trouver le plus court. La comparaison
directe des cordes permettra de conclure, mais il faudra tirer un peu sur les cordes,
les rectifier, les rendre droites. Cet exercice ne fournit pas le chemin le plus court
entre ces deux objets. Ce sera l’objet d’une séance ultérieure.
De retour en classe, les élèves dessineront comme ils pourront les deux arbres et
quelques chemins allant de l’un à l’autre. Ils garderont une trace écrite rédigée en
commun expliquant comment on repère le chemin le plus court.

Déterminer le chemin le plus court. Les élèves seront placés dans une situation
d’investigation dans laquelle ils seront amenés à comparer de nombreux chemins
avec des cordes. Ils trouveront alors que le chemin le plus court est celui réalisé par
une corde tendue entre les deux objets donnés. Le maitre apportera une règle de
maçon (de deux ou trois mètres de long) et la placera à côté de la corde ainsi tendue
afin de permettre aux élèves de remarquer que la corde tendue ou cette règle [4]
permettent de dessiner au sol le même trait. Le maitre pourra même montrer
comment dessiner ce chemin le plus court avec un bleu [5] de maçon. De retour en
classe, les élèves dessineront les deux arbres, différents chemins allant de l’un à
l’autre (différentes lignes) et à l’aide de leur règle, dont l’utilisation aura pris un autre
sens, ils dessineront le chemin le plus court pour aller d’un arbre à l’autre. Ils
annoteront leur dessin avec des textes rédigés collectivement.
Ultérieurement, le maitre demandera aux élèves de représenter matériellement le
chemin le plus court pour aller d’un arbre (ou tout autre emplacement remarquable)
à un autre et invitera les élèves à se placer cinq par cinq sur ce chemin. Il pourra alors
leur dire que chacun d’entre eux est aligné avec les deux arbres et qu’ils sont tous
alignés avec les deux arbres et entre eux. Un « bon » alignement pourra être observé
de différentes manières par exemple par cette « seule tête » que l’on veut voir, ou
bien par le fait que les deux pieds de chaque enfant sont situés de part et d’autre
d’une corde tendue, à très faible distance de la corde, mais sans la toucher. De retour
en classe, les élèves représenteront à nouveau ces deux arbres, dessineront le chemin
le plus court de l’un à l’autre et indiqueront par des points l’ordre dans lequel ils
étaient placés sur ce chemin en désignant chaque point par le prénom de l’élève en
question. Ce dessin sera annoté : les élèves … sont alignés avec les deux arbres. Des
phrases conclusives comme « pour m’aligner avec deux arbres, je me place sur le
chemin le plus court entre ces deux arbres », « pour aligner trois élèves, on prend
une corde que l’on tend et on met les élèves sur la corde » permettront de conserver
une trace de ces activités. On n’oubliera pas non plus «  la règle permet de dessiner
le chemin le plus court entre deux points » et «  le chemin le plus court entre deux
points est appelé segment  [6] »
De nombreux exercices d’alignements seront réalisés avec les élèves en extérieur et
représentés sur le papier de retour en classe.
Des exercices du type recherche de points alignés seront fréquemment mis en œuvre
tant en extérieur qu’en intérieur.

En extérieur, on pourra par exemple :
 Placer deux élèves assez éloignés et demander à des élèves de s’aligner avec
ceux-ci, les élèves s’aligneront entre les deux élèves.
 Placer deux élèves A et B assez éloignés et demander à un élève C de se placer
pour que B soit sur le chemin le plus court pour aller de A à C. Cet exercice
vise à étendre le segment ce qui permettra plus tard d’évoquer la notion de
droite.
 Placer quatre élèves A, B, C et D tels que les élèves A et C d’une part, B et D
d’autre part soient diagonalement opposés et demander à d’autres élèves de
placer un élève de manière à ce qu’il soit aligné d’une part avec A et C et
d’autre part avec B et D.
 Placer quatre élèves A, B, C et D tels que les droites (AB) et (CD) se coupent
à l’extérieur du quadrilatère ABCD dans un espace accessible de la cour, et
demander à d’autres élèves de placer un élève de manière à ce qu’il soit aligné
à la fois avec A et B d’une part et C et D d’autre part, etc.
On peut faire varier les objets (tuteurs et piquets divers, etc.) et compléter ce travail
avec quelques expériences fondées sur la trajectoire de la lumière (soleil, lampe,
visées etc.).
Ces exercices seront reproduits en intérieur avec un logiciel de géométrie et sur le
papier (sans se soucier de reproduire à l’échelle la configuration extérieure). On
attachera de l’importance au maintien de la règle pour les tracés à la main et à la
précision des traits.
L’alignement, défini par le segment reliant deux points peut être avantageusement
prolongé par de nombreux points extérieurs au segment initial pour réaliser de
nouveaux alignements incluant l’alignement initial. Le segment initial apparaît alors
comme une partie du nouveau segment que l’on pourrait ainsi prolonger
indéfiniment…, ouvrant la porte à la notion de droite. Ces dessins sont reproduits et
annotés sur le papier et avec un logiciel de géométrie.

Conclusion à propos de la notion d’alignement :

Cette notion met en jeu la comparaison des longueurs (sans mesure) et la recherche
d’un minimum. Elle fait donc partie de la classe des problèmes d’optimisation. D’un
point de vue langagier, elle implique la convention de ne parler d’alignement en
mathématique que dans le cas où la ligne considérée est un segment de droite.

La notion d’angle droit

Il est tout d’abord nécessaire de s’interroger sur le sens de l’expression angle droit.

Puisque la notion d’angle n’est pas au programme du cycle 2, le mot droit n’est pas,
à ce niveau, un adjectif qui qualifierait un angle particulier. Il faut considérer angle
droit comme un seul mot. C’est donc un nom composé qui désigne un objet
particulier qu’il convient de construire. Cet objet est partiellement décrit par les
éléments qui le composent.

Le mot droit dans angle droit peut être lu comme direct. Un angle droit deviendrait
alors un angle direct, c’est-à-dire un angle réalisant un chemin le plus court. On sait
que l’angle droit réalise le chemin le plus court pour aller d’un point extérieur à un
mur supposé droit. C’est donc cette entrée ouvrant sur des investigations qui pourra
être privilégiée pour introduire le concept d’angle droit.

Une piste pédagogique pour enseigner la notion d’angle droit

La construction de cet objet pourra encore une fois se faire à partir de manipulations
et d’investigations des élèves dans le monde réel, la notion étant ensuite travaillée en
classe.
Activité possible dans la cour de l’école, qui peut se réaliser à l’occasion d’activité
sportive dans le cadre d’une course : aller toucher un mur et revenir au point de
départ en réalisant le temps de parcours le plus court. Il devient alors intéressant de
trouver le chemin le plus court. Une corde permettra de déterminer une zone du mur
(la précision ne permet pas d’envisager de déterminer un seul point) rendant la
longueur de la corde la plus courte. Au voisinage du point de contact de la corde et
du mur, placer deux caissettes à légumes et se rendre compte que ces caissettes
« collent » à la fois au mur et à la corde. Elles réalisent un gabarit de l’angle droit.
Relater ce travail en classe et chercher des gabarits d’angle droit dans la salle de
classe : coin d’une feuille de papier, coin d’une boîte en bois ou en carton, équerre,
etc. Le gabarit de l’angle droit privilégié sera l’équerre, mais chaque élève devra
savoir fabriquer un gabarit d’angle droit avec une feuille de papier ne comportant
aucun angle droit. On pourra prolonger cette activité en plaçant un point n’importe
où sur une feuille A4 et demander aux élèves de trouver le plus court chemin pour
aller de ce point à un bord de la feuille. Une fois ce point trouvé à la suite de
nombreuses manipulations (comparaison de longueurs de segments), il sera possible
de le construire par pliage et d’obtenir ainsi un procédé pour fabriquer une équerre
en papier. On peut aussi procéder avec une feuille A4 punaisée sur une plaque de
liège ou de polystyrène extrudé, planter une punaise n’importe où dans la feuille,
accrocher un fil à cette punaise et repérer sur ce fil la longueur de différents segments joignant ce fil à un bord de la feuille jusqu’à trouver le plus petit d’entre eux. La
construction de ce point peut ensuite se réaliser par pliage de la feuille, en réalisant
à nouveau une équerre en papier.

On peut aussi mesurer les distances entre un point A extérieur à un segment S et
plusieurs points de ce segment. Trouver les chemins les plus courts pour aller de A à
S. Il convient de bien choisir la position de A par rapport au segment (suffisamment
long) pour que la solution du problème soit réalisée par l’angle droit.

Quelques activités complémentaires en extérieur

 si la cour comporte deux murs parallèles, marquer un point « arrivée » sur un
de ces murs, et demander aux élèves où placer le point de départ de la course
sur l’autre mur afin que le trajet soit le plus court possible. Dessins en classe.
Cette activité peut être reprise en classe avec deux murs parallèles ;
 fil à plomb et surface de liquide, constat avec un gabarit d’angle droit formé
à partir d’une plaque de polystyrène, paille flottant sur l’eau et angle formé
avec un fil à plomb plongeant dans l’eau, etc. Dessins en classe et annotation
des dessins ;
 déterminer le chemin le plus court pour aller d’un point à un autre avec des
contraintes (toucher un mur en passant, passer par un point remarquable à
choisir parmi plusieurs points, éviter une zone dessinée sur le sol, etc.). Ces
activités peuvent être réalisées avec de la ficelle.

Quelques activités complémentaires en intérieur :
 une fois la notion de mesure des longueurs mise en place, refaire les activités
ci-dessus en ajoutant des considérations de longueur, plus courte distance, etc.
 transposer toutes les activités réalisées en extérieur ou en intérieur dans un
environnement informatique en utilisant un logiciel de géométrie dynamique ;
 garder des traces écrites de tous les travaux réalisés, faire verbaliser les élèves,
composer en commun des textes courts afin de conserver la mémoire des
activités, recopier ces textes.

Lien entre les deux notions abordées

Le lien entre les deux notions clés du cycle 2 est donné par le sens même des mots
puisque alignement impose ligne droite donc distance la plus courte et que angle
droit impose également de considérer une distance minimale, les deux notions
relèvent de l’optimisation. On peut dès lors penser qu’il est souhaitable de proposer
aux élèves des problèmes d’optimisation, vaste champ qui ne demande qu’à être
exploré. Ceci n’exclut en rien les travaux classiques de reproduction de figures, mais
pourrait contribuer à donner davantage de chair aux mathématiques de l’école.

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