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EXPERIMENTER ET PROUVER

Faire des mathématiques au lycée avec des calculatrices symboliques.

Gérard Kuntz

38 variations sur un thème imposé

Auteurs : Luc Trouche et les 37 élèves d’une classe Terminale S du Lycée Joffre de Montpellier.

Date : Mai 1998. Editeur : Irem de Montpellier, Université Montpellier 2, place Eugène Bataillon, cc 040, 34095 Montpellier cedex 05. 310 pages en format A4. Prix  : 100 francs. ISBN 2-909916-286.
Que se passe-t-il quand on remet à chaque élève d’une bonne classe une TI-92, avec la possibilité de rétroprojeter  ? Quand l’enseignant a longuement réfléchi à l’utilisation de cet instrument et en a mesuré l’impact ? Les élèves découvrent alors des mathématiques vivantes, surprenantes, déstabilisantes.
Des redoublants changent d’attitude, retrouvent le goût de l’étude et un moteur vers la réussite. Les hiérarchies sont bousculées : les "bons élèves" se trouvent face à de vraies questions dont ils n’ont pas immédiatement les réponses. Les autres trouvent une place dans la recherche des solutions.
Le travail en binômes et en groupes plus importants permet d’aborder des problèmes difficiles et peu balisés.
L’enseignant n’est plus le distributeur d’un savoir codifié qu’il est seul à maîtriser, il devient le chef d’un orchestre remuant, travaillant d’arrache- pied, plein de vie et du plaisir de découvrir.

L’ouvrage est structuré en cinq parties :
Les travaux pratiques Une heure par semaine, prise sur l’emploi du temps, leur est consacrée. Il s’agit de questions généralement brèves, comme celles qu’affectionnent les rallyes mathématiques. Ils sont conçus pour que la calculatrice soit une aide, pour peu qu’on sache reformuler le problème et utiliser ses potentialités. Les élèves travaillent en binômes, en toute liberté. Les solutions proposées par les élèves sont d’une grande variété. Elles n’aboutissent pas toutes, loin de là, mais elles manifestent une imagination qui s’exprime difficilement dans un cadre classique. Les quatorze TP sont prolongés (pour les élèves volontaires) par une "question du lendemain". Différentes solutions sont indiquées par l’enseignant et par les élèves qui proposent leurs remarques et suggestions à propos de chaque problème. Ces réflexions soulignent leur profonde implication dans l’expérience.
Les défis Au nombre de cinq, les défis sont proposés à la classe sans limitation de durée. Ceux qui le souhaitent s’en emparent, communiquent des éléments de solutions à la classe, en débattent, remettent l’ouvrage sur le métier jusqu’à l’obtention d’une solution globale. Il s’agit d’un travail de recherche, où les élèves s’investissent en fonction de leur intérêt et du temps disponible. Cette activité modifie profondément la perception qu’ils ont des mathématiques.
Les pochettes surprises Ces activités, proches des défis, relèvent de la seule initiative des élèves. Elles naissent d’une curiosité historique et culturelle (nombre d’or, approximation de $ pi $ ), d’une potentialité de la calculatrice peu exploitée (fractales) ou d’une réponse étrange ou paradoxale de la calculatrice (l’astroïde).
Les devoirs surveillés Ils sont conçus de manière à mettre en évidence les compétences mathématiques de l’élève et son aptitude à utiliser la calculatrice dans sa démarche intellectuelle. C’est à ce prix que l’évaluation prend son sens : le seul usage de la calculatrice ne procure aucun avantage à un élève mathématiquement incompétent.
(Auto) Evaluation Cette partie est particulièrement intéressante  : on y rencontre des élèves qui réfléchissent au processus d’apprentissage qu’ils sont en train d’expérimenter. On relève l’évolution (très nette) de leurs points de vue d’octobre à mars. On se réjouit de leur enthousiasme. Mais on est frappé par certaines résistances (certes minoritaires, mais révélatrices)  : "J’aimerais savoir à quoi servent des problèmes hors programme pour le bac. Ne serait-il pas souhaitable de passer du temps sur des points précis du bac, même si on doit les refaire plusieurs fois ?" D’une façon générale, la tonalité est positive et la notion de plaisir est souvent évoquée.

Rien dans cet ouvrage ne dépasse le niveau de Terminale S. Aucune des activités qu’il propose ne s’écarte vraiment du programme de la classe. Et pourtant, tout y est si différent, et d’abord l’esprit qui l’anime : les élèves qu’il met en scène suivent des chemins peu orthodoxes et à peine balisés. Ils travaillent en binômes ou en groupes plus importants. Ils discutent et débattent librement. Et surtout, ils commentent et prolongent les activités proposées, au point de participer largement à la rédaction de l’ouvrage. Ce livre peut troubler ou irriter par son originalité. Il peut aussi inspirer des changements nécessités par les technologies nouvelles et par les besoins d’une formation scientifique solide pour un monde en profonde mutation. Chacun peut y trouver une foule d’idées et de thèmes de recherche pour la classe. Gérard KUNTZ-