Exercices

Exercice 497-1 (Daniel Reisz – Auxerre) à proposer à nos élèves

• Dans une feuille de papier on découpe un trou circulaire de 3cm de diamètre.
  Peut-on y faire passer une pièce de 4cm de diamètre ?

• Les équations $ax^2+ bx + c = 0, cx^2 + ax + b = 0$ et $bx^2+ cx + a = 0$ peuvent-elles avoir toutes les trois deux racines réelles ?

• Pour un nombre réel x, on note $\lfloor x \rfloor$ sa partie entière (le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x) et on note sa partie décimale $\{x\}$. Existe-t-il des réels x tels que $\lfloor x \rfloor \times \{x\}=x$ ?

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 497-2 Georges Lion (Wallis) extrait du livre de Robin Hartshorne : Euclid and beyond

Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus.
$A_0, B_0 \text{ et } C_0$ sont les pieds des hauteurs issues
respectivement de A, B et C.
$A_2$ et $A_3$ sont les projetés orthogonaux de $A_0$ sur
(AC) et (AB) ; $B_1$ et $B_3$ ceux de $B_0$ sur (BC) et (BA)
 ; $C_1$ et $C_2$ ceux de $C_0$ sur (CB) et (CA).
Démontrer que les six points $A_2, A_3, B_1, B_3, C_2$ et
$C_3$ sont situés sur un même cercle.
On demande de préférence, une solution reposant exclusivement sur des propriétés des angles, des droites, des cercles et des quadrilatères inscriptibles, c’est-à-dire excluant tout recours aux proportions et aux triangles semblables.

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 497-3 pioché de-ci, de-là…

En perspective cavalière on sait dessiner sur un cube la trace de sa section par un plan passant par 3 points donnés, comme sur l’exemple ci-contre dans lequel les points ont été choisis sur les faces de dessus, de devant et de droite.
Indiquer une procédure permettant d’obtenir cette
trace dans la réalité, c’est à dire sur un vrai cube ; ou
sur la perspective mais à l’aide de tracés limités
exclusivement aux faces.

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 497-4 pioché de-ci, de-là…
Calculer $I=\int_0^1 \left[ \frac{1}{x}-E\left(\frac{1}{x}\right) \right] dx$ (où E désigne la partie entière).

Voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 495-1 (Jean Gounon – Chardonnay)

ABC est un triangle non aplati. Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan du triangle tels que les aires des triangles MAB, MBC et MCA soient égales.

Solution de Raymond Heitz (Lavergne)( géométrie des configurations)

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques) (géométrie affine)

Solution de Frédéric de Ligt (Montguyon) (transformation affine)

Autres solutions  : Maurice Bauval (Versailles), Jean-Claude Carréga (Lyon), François Duc ( ), Jean Gounon (Chardonnay), Pierre Lapôtre (Calais), Éric Trotoux (Caen).

Nota.

• Certaines de ces autres solutions relèvent de la géométrie analytique et utilisent les déterminants pour calculer les aires.
• Raymond Heitz m’a fait parvenir la proposition suivante trouvée dans un vieux livre de géométrie :

  Pour un triangle ABC (non équilatéral), le centre de gravité, les sommets du triangle anti-complémentaire et les centres des cercles inscrit et exinscrits sont huit points d’une même hyperbole (équilatère) dont le centre (appelé point de Steiner) est situé sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Remarque.
On pourrait se poser la question de déterminer les points M de l’espace qui vérifient la même propriété.

Exercice 495-2 (Raphaël Sinteff – Nancy) d’après le sujet de TP Bac S n°30, juin 2008

Etudier la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_{n+1}=\frac{u_n}{n}+1$ et $u_1$ réel.

Solution d’Eric Trotoux (Caen)

Solution de Frédéric de Ligt (Montguyon)

Autres solutions : Jean-Claude Carréga (Lyon), Jean Gounon (Chardonnay), Raymond Heitz (Lavergne), Pierre Lapôtre (Calais), Giovanni Ranieri (Melun), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raphaël Sinteff (Nancy).

Exercice 495-3 pioché de-ci, de-là …
Etudier (rapports de longueurs, rapports d’aires) cette figure dans laquelle les angles qui semblent être droits, le sont vraiment.

Solution de Michel Sarrouy (Mende)

Lire la solution de E. Trotoux

Autres solutions : Raymond Heitz (Lavergne), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

Exercice 495-4 (XVIIIe olympiades mathématiques d’Italie (Mai 2002)

Prouver que si $5^n + 3^n + 1$ est premier, alors 12 divise n.

Solution de Pierre Lapôtre (Calais)

Autres solutions : Giovanni Ranieri (Melun), Frédéric de Ligt (Monguyon), Éric Trotoux (Caen), Raymond Heitz (Lavergne), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

Complément à l’exercice 494-3

x, y et z désignent des entiers tous distincts.
Montrer que $(x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$ est divisible par $5 (x - y) (y - z) (z - x)$.

Moubinool Omarjee (Paris) s’est intéressé à cette relation pour d’autres exposants que 5.
Il a trouvé :
$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3$ est divisible par $3 (x - y) (y - z) (z - x)$ ;
$(x - y)^7 + (y - z)^7 + (z - x)^7$ est divisible par $7 (x - y) (y - z) (z - x)$ ;
$(x - y)^9 + (y - z)^9 + (z - x)^9$ est divisible par $3 (x - y) (y - z) (z - x)$, mais pas par 9 ;
$(x - y)^11 + (y - z)^11 + (z - x)^11$ est divisible par $11 (x - y) (y - z) (z - x)$.

Il propose la conjecture suivante :
Si p ≥ 3 est un nombre premier, alors $p(x - y) (y - z) (z - x)$ divise $(x - y)^p + (y - z)^p+ (z - x)^p$ .

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