Exercices de-ci de-là du BV 521

et solutions des 519-1, 519-2, 519-3 et 519-4

Bruno Alaplantive

Résumé

Cette rubrique contient les énoncés des exercices
- 521-1 : calculs de volumes à la Cavalieri ;
- 521-2 : problème de lieu géométrique dans le plan ;
- 521-3 : calcul de l’aire d’un trapèze ;
- 521-4 : constructions de 3 carrés intérieurs à un triangle ;
ainsi que les solutions des problèmes :
- 519-1 (propriétés angulaires de droites sous contraintes), 519-2 (lieu de points associés à une parabole), 519-3 (propriété d’une équation de degré 3 et calcul de volume d’un solide) et 519-4 (équation du second degré).

Exercices

Exercice 521-1 Robert March – Paris

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La boite est percée de 3 trous : le côté du carré, le diamètre du cercle et la base et la hauteur du triangle isocèle sont égaux.
On s’intéresse aux pièces qui passent exactement à la fois dans chacun des 3 trous.
Un coin cylindrique et un coin conique [1] font l’affaire.

On se propose de « comparer leurs solidités », autrement dit de calculer leurs volumes respectifs, en suivant les préceptes de Cavalieri (1598-1647) : « si en coupant deux solides par une suite de plans parallèles on obtient des sections dont les aires correspondantes sont toujours dans le même rapport, les volumes compris entre deux de ces plans sont dans le même rapport ».

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Exercice 521-2 Raphaël Sinteff – Nancy

Tiré du livre Algèbre et trigonométrie classe de mathématiques élémentaires conforme au programme du 3 juin 1925.

On donne un demi cercle de diamètre [AB].

Trouver sur cette courbe un point M tel que si la corde [MN] est parallèle au segment [AB] on ait

$$AM + MN = \ell $$

où $\ell$ est un réel positif donné.

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Exercice 521-3 Pour nos élèves

A. Un trapèze de hauteur 4 cm a ses diagonales perpendiculaires. Une diagonale mesure 5 cm.
Déterminer l’aire du trapèze.

B. Montrer que si $0 < a < b $ alors

$$\ln \left( \dfrac{b^2}{a^2} \right) < \dfrac{b}{a} - \dfrac{a}{b}.$$

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Exercice 521-4 Oscar Rémal Fatti - Perpignan-gare Ça ne tourne pas rond !

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Un triangle ABC est tel que l’on a réussi à construire 3 carrés à l’intérieur, de la façon dont l’indique la figure ci-contre.

Les côtés de chaque carré ont une position bien définie par rapport à une des droites particulières du triangle. Laquelle et pourquoi ? En déduire une construction des carrés.

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Solutions

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Exercice 519-1 Michel Lafond – Dijon

Dans la figure ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires et les segments [AD] et [BC] se coupent en M. Démontrer que si $MB = 3 MA$ et $MD = 5 MC$ alors l’angle AMB mesure 60°.

Solution de Raymond Heitz (Névez)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Bernard Collignon (Coursan), Ludovic Jany (Bolquère), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Hervé Chastand (Périgueux)

Exercice 519-2 Robert March – Paris

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$F$ et $S$ sont le foyer et le sommet de la parabole $(P)$
$M$ un point de cette parabole.
$N$ et $Q$ sont les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur la tangente au sommet et sur l’axe.
$N' $ est le symétrique de $N$ par rapport à $S$.
La parallèle menée par $Q$ à $[FN' ]$ coupe la tangente au sommet en $R$.
La parallèle menée par $R$ à l’axe coupe la normale en $M$ au point $P$.

Montrer que le lieu de $P$ quand $M$ décrit la parabole est sa développée.

Solution de Ludovic Jany (Bolquère)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raymond Heitz (Névez), Jean-Paul Thabaret (Grenoble).

Nota. Dans sa solution, Pierre Renfer a utilisé le cercle osculateur.

Exercice 519-3 Pour nos élèves

A. Prouver que pour tout réel $k$, l’équation $x^3 + 4x^2 + 6x + k = 0$ ne peut pas avoir 3 racines réelles distinctes.

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B. Dans le solide $ABCDEF$ ci-contre, $ABCD$ est un carré de côté $c= 3\sqrt{2}$ cm ; les triangles $BCE$ et $ADF$ sont équilatéraux.
De plus l’arête $[EF]$ est parallèle à la face $ABCD$ et $EF = 2c$.
Calculer le volume de ce solide.

Solution de A.Jean-Paul Thabaret et B.Robert March

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Robert March (Paris), Michel Lafond (Dijon), Raymond Heitz (Névez), Bernard Collignon (Coursan), Ludovic Jany (Bolquère), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Hervé Legrand (Tournefeuille).

Exercice 519-4 Paul-Alain Bonvert – Alpha du Ginseng

Dans $\mathbb{C}$ on considère l’équation (E) : $z^2 +(a+ib)z + (c+id) =0$.

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que (E) admette une racine réelle et l’autre complexe.

Solution de Pierre Renfer

Autres solutions : Michel Lafond (Dijon), Raymond Heitz (Névez), Bernard Collignon(Coursan), Ludovic Jany (Bolquère), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Hervé Legrand (Tournefeuille), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans).

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] Voir au besoin sur http://www.mathcurve.com/surfaces/c...