Exercices de-ci de-là du BV 523

et solutions des 521-1, 521-2, 521-3 et 521-4

Bruno Alaplantive

Pas de nouvel exercice dans ce BV

Résumé

Cette rubrique contient les exercices corrigés 521-1 (faire passer des solides de l’espace dans des trous), 521-2 (lieu de points en géométrie plane), 521-3 (détermination de l’aire d’un trapèze connaissant sa hauteur et la longueur d’une diagonale) et 521-4 (propriété de carrés inscrits dans un triangle).

Solutions

Exercice 521-1 Robert March – Paris

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La boite est percée de 3 trous : le côté du carré, le diamètre du cercle et la base et la hauteur du triangle isocèle sont égaux.
On s’intéresse aux pièces qui passent exactement à la fois dans chacun des 3 trous.
Un coin cylindrique et un coin conique [1] font l’affaire.

On se propose de « comparer leurs solidités », autrement dit de calculer leurs volumes respectifs, en suivant les préceptes de Cavalieri (1598-1647) : « si en coupant deux solides par une suite de plans parallèles on obtient des sections dont les aires correspondantes sont toujours dans le même rapport, les volumes compris entre deux de ces plans sont dans le même rapport ».

Solutions de Robert March (Paris),Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

Exercice 521-2 Raphaël Sinteff - Nancy

Tiré du livre Algèbre et trigonométrie classe de mathématiques élémentaires conforme au programme du 3 juin 1925.

On donne un demi cercle de diamètre [AB]. Trouver sur cette courbe un point M tel que si la corde [MN] est parallèle au segment [AB] on ait

$$AM + MN = \ell $$

où $\ell$ est un réel positif donné.

Solution de L.G Vidiani (Fontaine les Dijon)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raymond Heitz (Névez).

Remarque
Cet exercice qui se pratiquait dans les années 192* est intéressant pour la rigueur nécessaire dans la discussion.

Exercice 521-3 Pour nos élèves

A. Un trapèze de hauteur 4 cm a ses diagonales perpendiculaires. Une diagonale mesure 5 cm.
Déterminer l’aire du trapèze.

B. Montrer que si $ 0 < a < b$ alors

$$ \ln \left( \dfrac{b^2}{a^2}\right)< \dfrac{b}{a} - \dfrac{a}{b}.$$

Solution de Alain Bougeard (les Lilas) pour A et de Jean Pilloy (Montpellier) pour B

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raymond Heitz (Névez), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon).

Exercice 521-4 Oscar Rémal Fatti - Perpignan-gare Ça ne tourne pas rond !

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Un triangle ABC est tel que l’on a réussi à construire 3 carrés à l’intérieur, de la façon dont l’indique la figure ci-contre.

Les côtés de chaque carré ont une position bien définie par rapport à une des droites particulières du triangle. Laquelle et pourquoi ? En déduire une construction des carrés.

Solution de Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Éric Trotoux (Caen).

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] Voir au besoin sur http://www.mathcurve.com/surfaces/c...