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Géométrie vivante ou L’échelle de Jacob.

Paul Louis Hennequin

- 5 juillet 2010 -

par Marcel Berger. Cassini, juin 2009.

988 p. en 16x23,5. 70 €.

ISBN 978-2-84225-035-5.

Marcel Berger, qui est bien connu d’une génération au moins de membres de l’APMEP par son « Géométrie » paru initialement chez CEDIC en 1978 et fréquemment réédité, est depuis plus de quarante ans l’animateur d’une très active école française de Géométrie. C’est lui qui, quand il était directeur de l’Institut des Hautes Études Scientifiques, le Princeton français de Bures sur Yvette, a su détecter le talent de Mikhaïl Gromov, aujourd’hui prix Abel de mathématiques et abondamment cité tout au long de ce traité, et le convaincre de rester à Paris.

Ce monumental ouvrage rassemble de nombreux problèmes de géométrie, toujours non résolus qui, pour être bien compris, ont nécessité l’utilisation de nouveaux outils abstraits souvent conçus dans d’autres buts. Ces notions conceptuelles sont construites chacune au dessus de la précédente et évoquent l’échelle de Jacob de la Genèse, posée sur la terre et dont le sommet touche le Ciel qui illustre la couverture. Or la géométrie qui tient aujourd’hui une place dominante dans la civilisation de l’image est de plus en plus comprimée dans l’enseignement secondaire et cela inquiète à juste titre l’auteur.

Les problèmes ont été groupés par affinité, ressemblance ou nature, de sorte que chaque chapitre peut se lire indépendamment.

Contrairement à la « Géométrie », il ne contient pas de démonstrations détaillées, mais expose, pour le plus grand bonheur des agrégatifs et capésiens, les idées forces et les concepts utilisés.

Avant sa parution, son architecture et sa présentation ont été testés avec bonheur dans plusieurs universités étrangères.

Détaillons le contenu de chaque chapitre qui comporte de nombreux exemples empruntés à la vie courante ou à des disciplines variées et qui s’achève par une rubrique XYZ où sont rassemblés précisions et commentaires et une bibliographie à la fois historique et contemporaine.

- I. Points et droites dans le plan.
Sylvester, géométrie affine ; géométrie projective ; le cas complexe ; arrangements d’hyperplans.
- II. Cercles et sphères.
Configurations de cercles ; inversions ; groupes conformes ; fractals ; inversion dans l’espace ; géométrie globale des cercles et sphères ; empilements hexagonaux  ; baderne d’Apollonius.
- III. La sphère pour elle-même ; comment bien y repartir des points ?
Impossibilité de bien repartir des points sur $S^2$ (applications : électrons, virologie, matière condensée) ; « dressing number » en dimension quelconque.
- IV. Coniques et quadriques.
Avant Descartes ; naissance de la géométrie algébrique ; philosophie de Klein ; les polygones de Poncelet ; les 3 624 coniques de Chasles…
- V. Les courbes planes.
Théorème de Jordan ; classification des courbes géométriques ; invariants euclidiens, théorème des quatre sommets et application à la physique ; inégalité isopérimétrique  ; cubiques et courbes elliptiques  ; géométrie d’ordre fini.
-  VI. Les surfaces lisses.
Problème du plus court chemin ; surfaces riemanniennes ; forme locale des surfaces, la fabrication des billes ; courbure totale et courbure moyenne ; bulles de savon.
- VII. La convexité et les convexes.
Fonctions convexes, exemples, opérations sur les convexes ; volume et aire ; théorème de Brunn-Minkowski et inégalité isopérimétrique ; méchanceté d’un convexe ; volume des tranches ; phénomène de concentration de Paul Lévy.
- VIII. Polygones, polyèdres, polytopes.
Polyèdres euclidiens ; polytopes ($d\geq4 $)
- IX. Réseaux, empilements et pavages dans le plan.
Points de $\mathbb Z$ ; empiler des cercles ; paver le plan (cristallographie, tremblements de terre) ; pavages apériodiques ; pavages hyperboliques.
- X. Réseaux et empilements en dimensions supérieures.
La conjecture de Kepler ; codes correcteurs d’erreur.
- XI Géométrie et dynamique I : les billards.
Polygones rationnels et irrationnels ; billards concaves, hyperboliques, convexes  ; concepts et langage des systèmes dynamiques ; ergodicité ; entropie.
- XII. Géométrie et dynamique II : le flot géodésique sur une surface.
Exemples et contre-exemples ; trajectoires périodiques ; Récapitulation des questions ouvertes.

L’ouvrage se termine par un index des noms propres (6 p.), un index thématique (33 p.) et un index des notations (5 p.)

Écrit dans un style très agréable et très direct, il est enrichi d’anecdotes savoureuses, de nombreuse figures, souvent faites à main levée et de magnifiques et pertinentes photographies nous plongent dans l’ univers du géomètre et en font un livre merveilleux à garder sous la main dans sa bibliothèque, sachant qu’il constitue une mine d’idées et d’exercices pour convaincre notre entourage que les mathématiques sont bien vivantes.

Paul-Louis HENNEQUIN