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Histoire de la Théorie des Ensembles.

Paul Louis Hennequin

- 25 janvier 2010 -

Histoire de la Théorie des Ensembles,
par Jean-Pierre Belna.

Ellipses août 2009.

128 pages en 14,5 × 19. 7,5 €.

ISBN 978-2-7298-5166-8.

La collection « L’esprit des sciences » dont c’est le no 47 se propose de répondre à un désir de culture permettant à un large public de découvrir, comprendre et apprécier les sciences ; l’auteur y a déjà publié en 2005 une Histoire de la logique (n° 33).

Dans l’introduction, l’auteur précise son objectif : montrer que la notion d’ensemble est liée à celles d’infini et de nombre qu’elle a peu à peu remplacées comme notion fondamentale et dégager que l’abstraction en mathématiques est le résultat d’une démarche intellectuelle et non d’une lubie d’une communauté qui se plairait dans l’ésotérisme ; les huit chapitres suivent ensuite l’ordre chronologique et dégagent les apports successifs en particulier du XX° siècle :
- I. Les prémices de l’idée d’ensemble : Un problème pour les grecs : Zénon, Aristote, Euclide ; paradoxe du tout et de la partie : Duns Scot, Galilée ; un infini actuel : Pascal, Leibniz.
- II. La « doctrine des ensembles » de Bolzano : différents concepts : ensemble, somme, pluralité, suite ; les ensembles infinis existent mais pas de nombres infinis  ; une doctrine mais pas une théorie.
- III. Problèmes de topologie et d’analyse : la théorie des multiplicités de Riemann, intégration et séries trigonométriques, Riemann et la théorie des ensembles.
- IV. Dedekind et les ensembles de nombres : l’approche algébriste (groupes et corps), l’ensemble des réels (coupures), l’ensemble des entiers naturels, sousensemble, ensemble infini, quelques difficultés non repérées, son influence sur Cantor, Peano, Hilbert, Zermelo, …
- V. Cantor et la théorie des ensembles et nombres transfinis : théorie cantorienne des nombres réels, le dénombrable et le continu, de la topologie à l’arithmétique, nombres transfinis, théorie cantorienne des ensembles, les lacunes de la théorie très inégalement accueillie.
- VI. Logique et théorie des ensembles : diagrammes logiques (Leibniz, Euler, Venn), l’algèbre de la logique (Boole, Peirce, De Morgan, Schröder), Frege et les extensions du concept.
- VII. Les paradoxes de la théorie des ensembles : l’ensemble de tous les nombres ordinaux (Burali-Forti), l’ensemble de tous les cardinaux (Cantor), l’ensemble de tous les ensembles (Bolzano), le paradoxe du barbier et la théorie des types (Russel).
- VIII. La théorie axiomatique des ensembles : premiers débats : le continu, bon ordre et axiome du choix (König, Zermelo, Hilbert), crise des fondements et théorie de la mesure (Baire, Borel, Lebesgue, Hadamard), axiomatisation de Zermelo-Fraenkel, deux autres théories : axiomatique NBG (Von Neumann, Bernays, Gödel), théorie NF (Quine), problèmes métathéoriques : complétude, non-contradiction, indépendance ; la reconstruction de Bourbaki.

Dans sa conclusion, l’auteur pose la question  : les ensembles nous sont-ils donnés ou résultent-ils d’un processus de rassemblement de leurs éléments par la pensée ? Et repasse en revue les réponses de Bolzano, Frege, Dedekind, Cantor, Zermelo, Gödel ; pour ce dernier dans la théorie axiomatique des ensembles « les concepts et théorèmes décrivent quelque réalité bien déterminée mais les axiomes ne contiennent pas une description complète de cette réalité ».

Une bibliographie sommaire renvoie à quelques textes fondamentaux et un bref index aux notions essentielles.

De l’antiquité à la seconde moitié du XX° siècle, la théorie des ensembles a donc une longue histoire étroitement liée à celle des mathématiques et de la logique et par conséquent impliquant tout autant le philosophe que le mathématicien.

Cet ouvrage, très clair, bien structuré et agréable à lire permet de la connaître et de la dominer ; il rendra donc de grands services tant aux professeurs qu’aux élèves de Terminale, mais aussi aux candidats au CAPES et à l’agrégation.

Paul-Louis HENNEQUIN