par
Mahdi ABDELJAOUAD.

Éd. : Centre de Publications Universitaires, Tunis, 2002.

Brochure de 268 pages en 15,3 × 23,7.

Excellente présentation. Deux Index (noms propres, terminologie).

Bibliographie.

ISBN : 9973-37-042-2.

CODIFFUSION PAR L’APMEP, pour ses adhérents, à 10 €.

 L’auteur a délibérément choisi « de remonter aux sources : présenter les concepts arithmétiques à la manière de leurs inventeurs tout en utilisant un langage moderne et en s’appuyant sur leurs propres raisonnements, en indiquant leurs questionnements et leurs doutes ».
 Chacun des neuf chapitres est clairement subdivisé. Chaque partie s’articule autour d’un concept-clé ou d’un théorème fondamental, en un cours très structuré : problème bien posé, exemples et démonstrations, corollaires et applications, exercices – dont certains corrigés en fin de - livre –,
 Annexe historique.

Voilà pourquoi l’APMEP a souhaité codiffuser ce livre !

 Chapitre 1 : L’ENSEMBLE N (16 pages) : …, démonstration par récurrence, division euclidienne, pgcd, ppcm.

 Chapitre 2 : LES NOMBRES PREMIERS (30 pages) :

• Définitions et propriétés (…, nombres
  jumeaux, …).
• Théorème fondamental de l’arithmétique, avec présentation de la démonstration de Gauss.
• Le « théorème d’Euclide » (infinité de l’ensemble des nombres premiers), et nombreux résultats annexes sur les nombres de la forme n ! + 1, les « repunités » (formés avec le seul chiffre 1), les 4k + 1 ou 4k + 3, le polynôme d’Euler, les nombres de Mersenne, de Fermat.
• La répartition des nombres premiers, avec comparaison des approximations de Gauss et d’Hadamard.
• Majoration du n-ième premier.

 Chapitre 3 : NOMBRES PARFAITS ET NOMBRES AMIABLES (20 pages) : avec, notamment, le « théorème d’Euclide » sur la forme d’un nombre parfait : \(2^{k} (2^{k-1} - 1)\) où \(2^{k-1} - 1\) est premier, et le théorème de Thabit
ibn Qurra sur les nombres amiables.

 Chapitre 4 : L’ARITHMÉTIQUE DANS Z
(14 pages) : avec, notamment, l’identité de Bézout, le « lemme de Gauss » (déjà vu au Chapitre 2), les équations diophantiennes
linéaires.

 Chapitre 5 : LES CONGRUENCES DANS Z (24 pages) : étude bien menée, donne de nombreux outils.

 Chapitre 6 : LES THÉORÈMES CLASSIQUES
(12 pages) : considéré « central » par l’auteur, ce chapitre traite des théorèmes de Fermat (le « petit »), de Lagrange, de Wilson, de Gauss, d’Euler (à partir de son « indicateur »), avec une incursion chez les nombres pseudo-premiers [définis par an a a (mod n)] débouchant sur ceux de Carmichael.

 Chapitre 7 : FORMES QUADRATIQUES (22 pages) :

• Formes \(x^2 + y^2\), \(x^2\pm 2y^2\) (avec une démonstration de Guinot).
• Résidus quadratiques, avec mention finale et exemple d’application de la loi de réciprocité quadratique.
  $$
   Chapitre 8 : DÉCOMPOSITION EN SOMME DE CARRÉS (40 pages) :
• Triplets de Pythagore.
• Décomposition en sommes de deux, trois (avec intervention des nombres triangulaires),
  ou quatre carrés (théorème de
  Lagrange).
• Théorème de Fermat-Wiles, démontré pour
  l’exposant 4, à partir d’une application, par
  Fermat, de sa méthode de descente infinie.
  C’est, de plus, fort intéressant, par l’emploi
  des aires…
• L’Annexe historique est, ici, particulièrement
  développée (12 pages).

 Chapitre 9 : FACTORISATION DES
ENTIERS NATURELS (34 pages) :

Techniques
de factorisation. Application aux
nombres de Mersenne et de Fermat. Tests de
primalité : de Lucas (deux), Wilson, Fermat,
Poccklington, Miller-Rabin.

 CHRONOLOGIE DE L’ARITHMÉTIQUE
(10 pages) : L’évolution est vue à travers
64 courtes biographies. On y observe
des prééminences successives des Grecs, des
Arabes, d’Occidentaux, …

 CORRIGÉS DES EXERCICES (15 pages,
très denses) : Les exercices proposés au fil
des sous-chapitres sont très nombreux et,
d’après quelques tests, à la fois bien gradués
et variés. Seuls quelques-uns (106) sont corrigés,
en fin d’ouvrage, la plupart de façon
détaillée. Leur ensemble constitue un bon
panel.

 L’APMEP A DÉJÀ ÉDITÉ, en 2000, UN
EXCELLENT LIVRE D’ARITHMÉTIQUE,
DÛ À MATHIEU SAVIN (Brochure no 129,
prix adhérent : 6,85 €), un vrai joyau par son
abord de quelques grands thèmes.

Le livre d’Abdeljaouad n’est pas du même
type : il s’agit d’un exposé beaucoup plus
panoramique, plus exhaustif quant au contenu
mathématique, plus « scolaire », au
meilleur sens du terme, avec ses subdivisions,
ses salves de corollaires, d’exercices et
d’exemples.

Je note la part très importante des démonstrations.
L’auteur sait pourtant ne donner que
des démonstrations accessibles à des bacheliers…
Tout au long du livre (c’est vrai aussi
pour l’ouvrage de Mathieu Savin !) se vérifie
ce que l’auteur dit en son chapitre 8 : « Les
démonstrations présentées, qu’elles soient
d’Euclide, de Fermat ou de Lagrange, sont
belles pour elles-mêmes et devraient être
connues de tout professeur de mathématiques
 ».

J’ajoute que tout enseignant de mathématiques
de collège ou lycée, tout animateur de
club de maths, peut trouver, en cet ouvrage,
des mines d’exercices corrélés à l’émergence
de méthodes fondamentales.

Henri BAREIL