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L’algorithme de Newton-Hooke

P. Coullet, M. Monticelli [1] et J. Treiner [2]

Résumé

La méthode d’Euler de résolution des équations différentielles, proposée par le programme de 1ère S en 2001, est une introduction aux méthodes de discrétisation. Une variante de cette méthode, suggérée la première fois par Robert Hooke dès le début des années 1600, permet une meilleure approximation des solutions.
L’article met en regard la méthode d’Euler avec la discrétisation implicite contenue dans l’exposé des principes de la mécanique par Newton dans les Principia en 1687, basée sur une vision d’emblée discrétisée, impulsionnelle du mouvement. Quatre discrétisations différentes sont exposées, et l’interprétation géométrique qui suit éclaire sur l’origine de la difficulté de la méthode d’Euler avec la conservation de l’énergie.

Plan de l’article

  • 1. Introduction
  • 2. La discrétisation des équations de la dynamique et les lois de conservation
    • 2.1. L’algorithme d’Euler
    • 2.2. L’algorithme de Newton-Hooke et la loi des aires
    • 2.3. Discrétisation et conservation de l’énergie
  • 3. Représentation du mouvement dans l’espace position-vitesse
    • 3.1. Quatre discrétisations possibles
    • 3.2. Interprétations géométriques
  • 4. Conclusion
  • Remerciements
  • Références

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] INLN, 1361 route des lucioles, 06560 Valbonne. P. Coullet est membre de l’Institut Universitaire de France.

[2] LPTMS, Bâtiment 100 Université Paris-Sud 15, rue Georges Clémenceau 91405 Orsay Cedex.