Énoncé

Les troupes ordinaires de Napoléon étaient disposées en 14 régiments carrés, chaque régiment comportant le même nombre d’hommes.

Les troupes d’élite formaient un quinzième régiment carré, comportant un peu moins d’hommes que chacun des régiments ordinaires.

Napoléon ordonna d’abord à son régiment d’élite de se joindre à 7 régiments ordinaires pour former un grand carré.

Puis, se ravisant, il ordonna aux 7 régiments restants de rejoindre le grand carré pour former un carré encore plus grand, comportant la totalité de ses troupes. Et c’est dans cette formation qu’il se lança à la bataille.

Combien y avait-il d’hommes dans l’armée de Napoléon ?

Le problème se résout grâce aux groupes elliptiques.

• Question
  un collègue a-t-il une source précise pour ce problème (livre, auteur, forum, revue…) ?

Répondre à : lg_viviani@club-internet.fr

Solution de Pierre Samuel

Par des réductions assez élémentaires, on réduit le système (S)

$\left\{ \begin{array}{1} 7x^2+y^2=z^2\\ 14x^2+y^2=t^2\\ \end {array} \right.$

au système (S’)

$\left\{ \begin{array}{1} 4a^2+b^2=c^2\\ 4a^2-b^2=7d^2\\ \end {array} \right.$

qui a la solution visible (a,b,c,d) = (2,3,5,1). En remontant les réductions, on trouve la solution (x,y,z,t) = (120,113,337,463) de (S).

L’armée de Napoléon a alors $463^2 = 260 369$ hommes.

(S) définit une courbe de P3, qui est une biquadratique elliptique, donc munie d’une loi de groupe abélien. En composant le point rationnel (120,113,337,463) avec les points évidents (0,1,±1,±1) et lui-même, on obtient peut-être d’autres solutions de (S). Mais il s’agirait là de calculs difficiles.

« Mes filles, formons carré » disait Monsieur Fenouillard.