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LA DÉMONSTRATION EN GÉOMÉTRIE PLANE dans les premières années de l’enseignement secondaire

Henri Bareil

par Claude VILLERS, avec la collaboration de M. Frémal, R. Gossez et R. Haine, pour la SBPMef (Société Belge des Professeurs de Mathématiques d’expression française).

Co-diffusion APMEP : cf. plaquette « VISAGES … » p. 29.
Brochure en A4, de 144 pages pour autant de feuilles imprimées seulement en recto avec de nombreuses et grandes figures … et une très claire présentation. Table des matières détaillée. 3 pages de « repères historiques », 1 de références. En tout plus de 150 exercices – résolus pour la moitié –.
Prix, port compris : en Europe : 12,5 € , sinon : 13,7 € .

En guise d’Introduction, un joli exercice.

En PREMIÈRE PARTIE (17 pages et 5 chapitres), un préambule « d’affirmations et constats » sur l’importance majeure de la résolution de problèmes et des caractères de l’enseignement des maths visant à rendre apte à les résoudre … avec un joli rappel d’un texte de 1938 : « Que le maître s’ingénie donc à semer de fleurs le chemin que le préjugé prétend hérissé d’épines ! ». Les constats portent sur deux tests relatifs à des problèmes :
– les élèves ayant reçu des fiches de suggestions de résolution ont moins bien réussi que les autres (!),
– ces « autres »-là ont proposé de nombreuses méthodes, ce « qui permet un entretien des connaissances acquises ».

DEUXIÈME PARTIE (112 pages) : SUGGESTIONS
Chapitre 6. GÉNÉRALITÉS
J’y relève d’abord l’intérêt d’énoncés sans questions, celui des figures tracées pas à pas avec étude à chaque pas, celui des logiciels de géométrie dynamique, celui d’accepter tout moyen de démonstration.
Suivent, sur près de trois pages, «  les premières propriétés de base » (avec le vœu que leur liste soit dressée par chaque élève au fur et à mesure de leur apparition), puis sur près de deux pages, des « stratégies élémentaires » pour l’isométrie de segments ou d’angles, des alignements, concours ou cocyclicité. Les « visions géométriques  », sur trois études, mettent en valeur l’intérêt de « figures d’études multipliées et modifiées de manière à faire apparaître les conséquences du respect des contraintes des énoncés d’une part et des découvertes successives d’autre part ».
Les chapitres 7, 8, 9, 10, 11 s’articulent respectivement autour de la symétrie centrale, des symétries orthogonales, des rotations, des translations, des isométries.
Trente neuf pages y sont consacrées à des exercices avec des résolutions dûment établies pas à pas (avec des choix, réactions et recherches aux enchaînements suggestifs), puis à des énoncés de la même famille.
Sous le titre « SIMILITUDES », le chapitre 12 (6 pages), qui utilise le théorème de Thalès-triangle et les triangles semblables démarre par un théorème à revaloriser : celui dit «  de la bissectrice » (avec AD bissectrice de $\widehat {BAC}$, D sur (BC), DB/DC = AB/AC), ensuite exploité, notamment pour une démonstration peu classique du théorème de Pythagore. Un joli exercice ultérieur montre l’intérêt d’une construction pas à pas (avec étude chaque fois !) d’une figure un peu compliquée…
Le chapitre 13 « DU GÉNÉRAL AU PARTICULIER : un filon à exploiter » en donne cinq exemples. J’ai particulièrement admiré le second : en particularisant un quadrilatère par la contrainte pour ses diagonales d’être perpendiculaires, il en vient, en sept étapes, au cercle d’Euler… Le quatrième exemple donne aussitôt Pythagore à partir d’un classique théorème de Pappus.
Le chapitre 14 « GÉOMÉTRIE, MOUVEMENT ET DÉMONSTRATION » traite de lieux géométriques qui n’hésitent pas à aborder, logiciel à l’appui, tout déplacement de point-clé. D’où, éventuellement, des points dérivés, des coniques, une rosace, … avec, au moins, de jolis dessins et beaucoup de questions
Le chapitre 15 « FAMILLE DE COURBES » étudie, de façon originale l’influence, à propos de lieux, des modifications des configurations. Ainsi, à partir de deux axes ∆ , ∆′ perpendiculaires, il est indifférent de déclarer des projections parallèles à ∆ ou perpendiculaires à ∆′ , mais si ∆ et ∆′ ne sont plus perpendiculaires ? À lire !
Le chapitre 16 « MÉLI-MÉLO D’EXERCICES » dissèque superbement une genèse de démonstration, puis propose quatre études du difficile théorème de Steiner-Lehmus : « Si un triangle a deux bissectrices intérieures égales, il est isocèle ». Il propose ensuite deux méthodes pour une « Construction de Lagrange » et termine par divers exercices en montrant comment exploiter, en recherche, un thème de figure…
MA CONCLUSION : On l’aura devinée ! Quel beau travail, à mettre entre les mains de tout enseignant, même chevronné, à plus forte raison débutant … !

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)