Brochure rédigée par le Groupe Didactique de l’IREM de Montpellier (Nicole
Bellard, Alain Bronner, Marc Boullis, Yves Girmens, Mirène Larguier, Martine
Lewillion, Sylvie Pellequer, Élisabeth Rebillard, Michel Roche, Michel Seco,
Claudine Vergne), relue par Luc Trouche et préfacée par Robert Noirfalise.

112 pages en 17 × 24. présentation très claire. Sommaire détaillé. Bibliographie (4
pages) de type universitaire… Annexes (18 pages).

ISBN : 2-912846-42-0.

Numéro APMEP : 165

Prix public : 10 €, adhérent : 6 €.

Chapitre 1. D’ABORD « LA PROBLÉMATIQUE » (6 pages) :

À partir d’un exemple, l’INTRODUCTION situe d’emblée le
débat : « Dans le cursus scolaire, il y a une quinzaine de règles du calcul algébrique
que l’on retrouve dans les mémentos de manuels. Elles constituent l’une des parties
essentielles des savoirs institutionnels enseignés en algèbre, du collège au lycée.
Quelles sont, malgré la durée de ces apprentissages, les raisons qui font que [les]
erreurs dans l’utilisation des règles apparaissent et persistent ? »

De quoi s’intéresser à la forme des signifiants algébriques, à l’invariance d’écritures
algébriques quant à leur « dénotation » et à leur « sens », à ce que donnent à voir les
expressions algébriques (un carré pour (a - b)2, mais une somme [ou …] pour
a2 - 2ab + b2), …

Surgit une interrogation : « Pourquoi l’élève [qui transforme une expression
algébrique] n’a-t-il pas l’initiative, pour contrôler l’égalité des résultats, de remplacer
les lettres par des valeurs numériques ? ». Que peut-il en déduire ? Qu’en déduit-il ?

Cela est-il pris en charge par l’enseignement ? Les auteurs pensent que non…
S’intéressant aux significations de l’égalité et au calcul pervers de (5 + 3)2 par
référence à (a + b)2, les auteurs regrettent que « le traitement des expressions
littérales et le calcul numérique se développent [… comme s’ils ne pouvaient pas]
être reliés ».

Mais quelle conception l’élève a-t-il de la mise en œuvre d’une règle ? « Comment
fonctionnent-elles dans les mathématiques ? Mais aussi, comment sont-elles données
à voir et à utiliser par les élèves ? »… Or, « l’apprentissage d’une règle suppose sa
connaissance en tant qu’objet et son utilisation en tant qu’outil […], autrement dit de
ce qu’elle est et de la manière dont elle opère »…

Chapitre 2. LA RÈGLE DANS TOUS SES ÉTATS (8 pages) :

 Origine du mot. Termes proches. Contextes divers (l’art, le jeu, …). Les règles dans
le contexte mathématique : constitutives d’une théorie, normatives ou conventions,
de formation d’écritures, d’usage, de déduction, procédurales.
 Tout cela est décrit à partir d’une multitude d’exemples…
 « Ce repérage des divers types de règles va permettre de mieux analyser les
stratégies d’enseignement à leur propos : … Doit-on enseigner des règles ? lesquelles
et comment ? Comment les énoncer, en contrôler l’apprentissage ? ».

Cela va faire
l’objet des chapitres 3 et 4.

Chapitre 3. L’APPORT INSTITUTIONNEL À L’OBJET RÈGLE…(21 pages) :

Trois sous-chapitres :
 3.1. Période actuelle, au collège, au lycée, …
 3.2. À travers huit livres de Quatrième, règles pour la résolution de l’équation du
premier degré à une inconnue et le cosinus d’un angle aigu.
 3.3. Dans les périodes anciennes, un intéressant panorama à partir de douze livres
(de 1757 à la fin du XIXe siècle)…

Chapitre 4. RAPPORT PERSONNEL DE L’ÉLÈVE À LA RÈGLE (41 pages) :

Vers ce rapport.

Ses composantes. Les pratiques dominantes en France.

Le registre
algébrique (…, signes, … transformations d’expressions algébriques « muettes et
automatisées » …, … aspect cognitif …, … lecture de l’écrit …, … difficultés du
traitement algébrique …).

L’aspect cognitif (connaissances nécessaires …,
« créations de règles-élèves par analogie, adaptation, glissement », modes inductif et
déductif, aspect socioculturel).

Composante épistémologique. « Analyse de
productions d’élèves et repérage des conceptions des élèves » (autour de (a + b)2 =
a2 + 2ab + b2 – avec extension au cube –, fraternisations avec a2 - b2, … extension
à (a + b + c)2, …, tests sur x2 = a, commentaires et entretiens, …

Chapitre 5. CONCLUSION (4 pages) :

Les auteurs y constatent, notamment, que « l’écrit algébrique, trop souvent réduit à
des algorithmes, semble être un objet mathématique transparent » alors qu’il s’agit
« d’un milieu antagoniste pour l’élève, dans lequel, la plupart du temps, ce dernier
développe des adaptations pour répondre à la demande des enseignants ».

Ils souhaitent des élucidations et que les élèves soient capables d’engager un débat
scientifique pour prouver le vrai ou le faux, repérer les fameuses « règles-élève », …
Ils espèrent provoquer « des interrogations chez le professeur et permettre un autre
regard sur les difficultés et les erreurs des élèves ».

ANNEXES

(18 pages) relatifs aux ouvrages étudiés et aux tests : Tableaux ;
citations ; résultats des tests ; …

QUELQUES COMMENTAIRES SUR CE TRAVAIL :

 S’attaquant à un domaine présumé mineur, petit maquis plus ou moins exploré,
les auteurs y ont apporté des éclairages qui en manifestent l’importance et
permettront de notables avancées pédagogiques.
 De plus, loin d’une étude fragmentaire, la brochure touche à des points essentiels
de l’enseignement des mathématiques :

• mises en place historiques et leurs séquelles,
• rôle prégnant des « ostensifs » (ce qui donne à voir), alors que le sens est
  gouverné par du non-ostensif, …
• réflexions sur les codages et sur les « surcodages » (polysémie de consignes),
• utilisation, intérêt et dangers des métaphores,
• inconvénients des « écrasements sur le technique »,
• questions du « sens », … à maintenir ou à oublier !,
• problèmes d’évaluation … [en général « ce qui est juste “ rapporte des
  points ” alors que ce qui est faux n’en enlève pas, […] donc mieux vaut
  produire quelque chose plutôt que rien », … coutume génératrice
  d’irresponsabilité chez l’élève, mais qui évite l’inhibition ? …],
• dualité objets idéaux-représentations, entre signes écrits et concepts ou
  notions représentés,
• nécessité de « construire la compétence » de changements de registre,
  –* relation à la rigueur : « L’être mathématique se dérive progressivement d’un
  terme banal pouvant recouvrir des sens différents. Prôner d’emblée un
  purisme mathématique s’oppose au fait que la rigueur ne s’impose que par
  son efficacité dans la communication, avec les autres et avec soi-même »,
• problème des «  règles-élève », raisonnement par analogie : « comprendre,
  c’est raisonner par analogie avec une situation connue », mais dès qu’il s’agit
  de découvrir, à l’intérêt de l’analogie se mêlent des risques dès qu’elle se
  confie trop à ce qui se donne à voir… ,
• danger de ruptures cachées (entre mise en facteur commun et mise en facteur
  du monôme de plus haut degré, lors de changements de référentiels, ainsi pour -a ou lorsque a peut être négatif, …), ruptures qui peuvent rendre
  caduques des règles d’action…

 Des ouvrages de didactique n’échappent pas à la règle commune à trop de
productions humaines : étaler la confiture ou en camoufler l’inexistence de fait
sous un vocabulaire abscons.

Ici, rien de tout cela ! Une pensée dense et riche est exprimée de façon lisible
et simple. À quelques détails près :

• de vocabulaire, mais alors les mots « rares » sont expliqués, ainsi « dénoter »,
  page 4, « ostensif », page 6.
• de quelques références à des théories de didactique, mais le contexte éclaire.
  [Les lecteurs du Bulletin Vert pourront aussi se reporter au texte de Guy
  Brousseau du présent Bulletin, à un texte sur lui du no 452, et, pour une
  allusion à la théorie anthropologique de Yves Chevallard, à la note, page 620
  du no 453, que je rappelle : « Cette approche tend à modéliser les rapports aux
  mathématiques, des individus, des institutions et de leur environnement, en
  prenant en compte toutes les contraintes qui rendent ces relations possibles,
  nécessaires, économiquement et écologiquement adaptées ».

MA CONCLUSION

Le sujet de l’ouvrage pouvait sembler mineur. Il y a pris une belle consistance !
Avec des études que toute pédagogie des mathématiques se devrait d’intégrer et
d’utiliser. J’en félicite l’équipe de l’IREM de Montpellier. Et à chacun de
profiter de leur travail…