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LES NOMBRES. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’antiquité aux recherches actuelles.

- 16 décembre 2012 -

par K. Lamotke et une équipe de huit auteurs.

Traduction et adaptation française (1998), aux Éditions Vuibert, par François Guénard, à partir d’une édition (la troisième - 1992) chez Springer-Verlag.

Ouvrage cartonné de 434 pages en 17,5 x 24,5. Présentation agréable et fonctionnelle. Table des matières détaillée (10 pages). Bibliographies par chapitres. Deux index (de 400 personnages et de 800 termes).

No ISBN : 2-7117-89012. Prix : 380 F.

Ce livre comporte trois parties A, B, C.

La partie A intitulée « Des entiers naturels aux nombres p-adiques » contient six chapitres. Le premier donne une image globale des nombres naturels, des entiers et des rationnels en commençant par la naissance du nombre jusqu’aux axiomes de Péano et la construction du corps des rationnels. Le second porte sur les nombres réels : après quelques rappels historiques sont présentées successivement les coupures de Dedekind, les suites de Cauchy , les segments emboîtés et la définition axiomatique des réels. Le troisième chapitre est consacré aux nombres complexes avec tout d’abord leur genèse, le corps des complexes non ordonné, ses propriétés algébriques, ses propriétés géométriques, les isométries, les coordonnées polaires et les racines nièmes.

Le théorème fondamental de l’algèbre est l’objet du chapitre 4. Il contient de nombreuses démonstrations dont celles de Gauss, d’Argand, de Laplace et les applications de ce théorème. Le chapitre 5 traite du nombre π : on y trouve un historique, l’homomorphisme exponentiel, les caractérisations classiques de π, les formules donnant ce nombre et enfin les algorithmes en donnant des approximations. Le dernier chapitre de cette partie contient la construction des nombres p-adiques et leurs différents aspects.

La seconde partie B intitulée « Algèbres à division réelles » est subdivisée en cinq chapitres précédés d’un résumé rappelant les concepts fondamentaux de la théorie des algèbres. Dans le premier chapitre, les quaternions de Hamilton sont exposés d’abord avec leurs structures d’algèbre, puis avec celle d’espace vectoriel euclidien ; cette étude se termine par les groupes orthogonaux avec les théorèmes de Cayley et de Hamilton. Les théorèmes d’isomorphismes de Frobenius, Hopf, Gelfand-Mazur sont démontrés dans le chapitre suivant. Le troisième chapitre de cette partie porte sur les nombres de Cayley et les algèbres à division alternatives : les algèbres quadratiques alternatives, les octonions et l’unicité de l’algèbre de Cayley. Les algèbres de composition, le théorème de Hurwitz, les algèbres de produit vectoriel sont les thèmes principaux du chapitre suivant. Cette partie B se conclut par la topologie et les algèbres à division avec, entre autres, la dimension d’une algèbre à division, l’invariant de Hopf, le théorème d’Adams sur les champs de vecteurs sur les sphères.

La partie C intitulée « Analyse non standard, jeux et théorie des ensembles » est constituée de trois chapitres aux titres suivants : « Analyse non-standard », « Nombres et jeux », « Théorie des ensembles et mathématiques ». Le lecteur y trouvera, en particulier, la construction des nombres non-standard et leurs propriétés communes avec les réels, les jeux de Conway, la modification des postulats de Dedekind, les nombres de Conway, les systèmes d’axiomes de la théorie des ensembles complétés de quelques aspects métamathématiques.

Cet ouvrage très riche par son contenu est agrémenté d’illustrations de mathématiciens acteurs du thème étudié avec en plus des éléments de leur biographie.

Ce livre donne une vue globale et synthétique des nombres avec de nombreuses démonstrations et peut constituer un document de culture mathématique pour tout enseignant et un instrument de travail pour des étudiants.

De plus, en consultant la liste des mots-clés dans la base de données bibliographique Publimath, le lecteur pourra avoir une image précise du contenu très fourni de ce livre.

Recension de Michel LE BERRE