par K. Lamotke et
une équipe de huit auteurs.

Traduction et adaptation française
(1998), aux Éditions Vuibert, par François
Guénard, à partir d’une édition (la
troisième - 1992) chez Springer-Verlag.

Ouvrage cartonné de 434 pages en
17,5 x 24,5. Présentation agréable et
fonctionnelle. Table des matières
détaillée (10 pages). Bibliographies par
chapitres. Deux index (de 400 personnages
et de 800 termes).

No ISBN : 2-7117-89012. Prix : 380 F.

Ce livre comporte trois parties A, B, C.

La partie A intitulée « Des entiers naturels
aux nombres p-adiques » contient
six chapitres. Le premier donne une
image globale des nombres naturels, des
entiers et des rationnels en commençant
par la naissance du nombre jusqu’aux
axiomes de Péano et la construction du
corps des rationnels. Le second porte sur
les nombres réels : après quelques rappels
historiques sont présentées successivement
les coupures de Dedekind, les
suites de Cauchy , les segments emboîtés
et la définition axiomatique des réels. Le
troisième chapitre est consacré aux
nombres complexes avec tout d’abord
leur genèse, le corps des complexes non
ordonné, ses propriétés algébriques, ses
propriétés géométriques, les isométries,
les coordonnées polaires et les racines nièmes.

Le théorème fondamental de l’algèbre
est l’objet du chapitre 4. Il contient
de nombreuses démonstrations dont
celles de Gauss, d’Argand, de Laplace et
les applications de ce théorème. Le chapitre
5 traite du nombre π : on y trouve
un historique, l’homomorphisme exponentiel,
les caractérisations classiques de
π, les formules donnant ce nombre et
enfin les algorithmes en donnant des
approximations. Le dernier chapitre de
cette partie contient la construction des
nombres p-adiques et leurs différents
aspects.

La seconde partie B intitulée « Algèbres
à division réelles » est subdivisée en cinq
chapitres précédés d’un résumé rappelant
les concepts fondamentaux de la
théorie des algèbres. Dans le premier
chapitre, les quaternions de Hamilton
sont exposés d’abord avec leurs structures
d’algèbre, puis avec celle d’espace
vectoriel euclidien ; cette étude se termine
par les groupes orthogonaux avec les
théorèmes de Cayley et de Hamilton. Les
théorèmes d’isomorphismes de Frobenius,
Hopf, Gelfand-Mazur sont démontrés
dans le chapitre suivant. Le troisième
chapitre de cette partie porte sur les
nombres de Cayley et les algèbres à division
alternatives : les algèbres quadratiques
alternatives, les octonions et l’unicité
de l’algèbre de Cayley. Les algèbres
de composition, le théorème de Hurwitz,
les algèbres de produit vectoriel sont les
thèmes principaux du chapitre suivant.
Cette partie B se conclut par la topologie
et les algèbres à division avec, entre
autres, la dimension d’une algèbre à
division, l’invariant de Hopf, le théorème
d’Adams sur les champs de vecteurs
sur les sphères.

La partie C intitulée « Analyse non standard,
jeux et théorie des ensembles » est
constituée de trois chapitres aux titres
suivants : « Analyse non-standard »,
« Nombres et jeux », « Théorie des
ensembles et mathématiques ». Le lecteur
y trouvera, en particulier, la construction
des nombres non-standard et
leurs propriétés communes avec les
réels, les jeux de Conway, la modification
des postulats de Dedekind, les
nombres de Conway, les systèmes
d’axiomes de la théorie des ensembles
complétés de quelques aspects métamathématiques.

Cet ouvrage très riche par son contenu
est agrémenté d’illustrations de mathématiciens
acteurs du thème étudié avec
en plus des éléments de leur biographie.

Ce livre donne une vue globale et synthétique
des nombres avec de nombreuses
démonstrations et peut constituer
un document de culture mathématique
pour tout enseignant et un instrument de
travail pour des étudiants.

De plus, en consultant la liste des mots-clés
dans la base de données bibliographique
Publimath, le lecteur pourra avoir
une image précise du contenu très fourni
de ce livre.

Recension de Michel LE BERRE