Mathématiques en Première Générale
pour l’Enseignement Scientifique et autres enseignements
Tome 1

Chapitre 7
Le magicien qui transforme les produits en sommes

Problème n°1
Le message du Baron de Merchiston dit Neper

Très chers amateurs passionnés de mathématiques.

Étant donné que rien n’est aussi désagréable à la pratique mathématique (en freinant et retardant les spécialistes du calcul) que les multiplications, les divisions et les extractions de racines carrées ou cubiques de grands nombres qui, en plus de l’ennui dû à leur longueur, induisent nombre d’erreurs dangereuses, j’ai entrepris de rechercher par quels moyens sûrs et commodes je pourrais me débarrasser de ces difficultés dont je viens de parler. J’en ai ensuite dans ce but, examiné attentivement de nombreux et j’ai fini par trouver quelques raccourcis remarquables qu’il faudra peut-être traiter ailleurs.

À la vérité, aucun n’est plus utile que celui-ci, qui consiste à rejeter du travail les nombres utilisés eux-mêmes et les multiplications, les divisions et les extractions de racines longues et difficiles, et à substituer à leur place des nombres qui se chargent de ces calculs par l’intermédiaire des seules additions, soustractions et divisions par 2 ou 3.

Ce procédé, bien qu’il soit un secret, sera d’autant meilleur qu’il sera porté à la
connaissance d’un plus large public (et c’est le cas pour tout ce qui est bon). J’ai donc trouvé bon de le divulguer pour l’usage commun des mathématiciens. Voilà pourquoi servez-vous en à votre aise, amateurs de connaissances, et cette méthode qui vient de moi, recevez-là avec le même esprit d’obligeance.

Portez-vous bien.

D’après une traduction d’Yves Tréguer de la préface de Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio
citée dans Faire des Mathématiques d’après leur histoire tome 3, IREM de Rennes.

 

Ce chapitre va démontrer qu’il est possible de transformer les produits en sommes, les divisions en soustractions et les racines $n^{ième}$ en divisions par $n$, et d’en montrer l’intérêt.

La substitution des nombres dont il est question se voit mieux en regardant un axe gradué selon une suite géométrique comme ci-dessous où on a écrit $2^n$ en face de $n$ placé dans une graduation arithmétique.

On note $L$ la fonction qui à chaque nombre de la graduation géométrique associe le nombre de la graduation arithmétique. Par exemple, $L(4) = 2$ et $L(8) = 3$.
a) Que vaut $L(32)$ ? Est-ce que $L(4 × 8) = L(4) + L(8)$ ? Trouve d’autres exemples.
b) Que vaut $L(512) – L(32)$ ? et $L(512/32)$ ? Trouve d’autres exemples.
c) Que vaut $L(64) : 2$ ? et $L(\sqrt{64})$ ? Trouve d’autres exemples.
d) Supposons que $a$ et $b$ soient deux nombres réels strictement positifs de la graduation géométrique, démontre que $L(ab) = L(a) + L(b)$.

 

Problème n°2
Les sous-graduations logarithmiques

On peut prolonger la fonction $L$ pour les nombres négatifs en observant que $2^{-n} = \dfrac{1}{2n}$ et on a vu dans le chapitre précédent que l’on pouvait réaliser des subdivisions aussi fines que souhaitées de la graduation et même définir $2^x$ pour tout nombre réel $x$.

Pour tout réel $y > 0$, il existe un réel $x$ tel que $y = 2^x$, on définit $L$ par $L(y) = L(2^x) = x$.

Supposons que $a$ et $b$ soient deux nombres réels strictement positifs d’une même graduation géométrique de raison $q = 2^r$, il existe deux nombres entiers $n$ et $p$ tels que $a = q^n$ et $b = q^p$.

  • Démontre que $L(ab) = L(a) + L(b)$.
    Il y a des indications page 88 du Chapitre 7 en téléchargement ,si tu n’y arrives pas seul.

La fonction $L$ est la fonction réciproque de la fonction $x \mapsto 2^x$. $L$ est la fonction logarithme de base 2 notée $\log_2$.
Pour tout réel $q > 0$ et $q \ne 1$, on peut définir définir $\log_q$ tel que $log_q(q^x) = x$ comme précédemment.

 

Après avoir cherché par toi-même, puis avoir échangé avec tes voisins, s’il s’agit d’un travail de groupe, tu peux regarder les pages suivantes du chapitre 7 où les méthodes sont détaillées.

Compare ces méthodes et assure-toi qu’elles donnent les mêmes résultats.

Dans les pages du chapitre 7, tu trouveras une grande quantité de problèmes où tu pourras réutiliser ces méthodes, puis une synthèse sur les notions mathématiques utilisées ici.

 

Le chapitre 7 en téléchargement

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