Les Olympiades nationales de mathématiques – saison 2017. Le 15 mars 2017 (le
14 mars en Polynésie Française), se sont déroulées les épreuves des Olympiades
nationales de mathématiques, à destination des lycéens de France et des établissements
français de l’étranger. À l’occasion de leur 17ème édition, le Président du
concours, l’inspecteur général Karim Zayana, nous présente la compétition, ses
enjeux tant pour les élèves que pour les professeurs, et le rôle précieux qu’y tient
l’APMEP.

Les Olympiades nationales de mathématiques sont une manifestation majeure portée
par la Direction Générale de l’Enseignement Scolaire (DGESCO), réunissant à chaque
édition près de 22 000 lycéens - toutes séries confondues - de France et des établissements
français de l’étranger (élèves de première dans la scolarité de l’hémisphère
Nord, de tout début de terminale dans la scolarité de l’hémisphère Sud) de l’enseignement
général, technologique, agricole, ou militaire [1] Ce succès, à replacer dans
l’actualité de la Semaine des Mathématiques, doit à l’implication sans faille des acteurs
de terrain : divisions des examens et concours, inspecteurs d’académie, chefs d’établissements,
professeurs. Il associe de fidèles partenaires, qui apportent à l’événement
soutien matériel (lots, financement) et expertise scientifique (conférence d’un chercheur
aux cérémonies académiques de remises des prix, relecture des exercices nationaux
comportant des questions d’algorithmique) : le Crédit Mutuel Enseignant,
INRIA, Casio, Texas Instruments, Google, l’École polytechnique (l’ « X ») et, à partir
de 2018, Hewlett-Packard. Pris en main par l’association Animath, les lauréats académiques
et nationaux pourront, l’année suivante, s’illustrer sur des compétitions d’envergure
internationale.

Tous les candidats passent l’épreuve au même moment. Les décalages horaires
conduisent à délimiter trois grandes zones géographiques dont les sujets sont différenciés
en conséquence : Europe – Afrique – Orient – Inde ; Amériques – Antilles –
Guyane ; Asie – Pacifique – Nouvelle Calédonie – Polynésie Française.

Une partie de
l’épreuve porte sur des exercices dits nationaux, comptant pour le palmarès national.
L’autre partie porte sur des exercices dits académiques, comptant pour les palmarès
académiques, et pouvant, depuis 2016 et selon certains aménagements, être résolus en équipes de deux ou trois. Des exercices sont communs à toutes les séries, d’autres
sont réservés à certaines. Tous respectent les programmes en vigueur et ne demandent
aucun savoir encyclopédique mais exigent et développent les qualités de recherche,
de calcul, de modélisation, de rédaction. Les copies peuvent être appréciées selon un
barème par compétences ; toutefois, les meilleures d’entre elles seront ensuite départagées
selon un barème linéaire au point très détaillé. Le calendrier de l’épreuve permet
aux élèves qui le souhaitent de concourir également sur d’autres
Olympiades nationales : géosciences, physique, chimie, sciences de l’ingénieur.

Saluons ici le travail considérable accompli de longue date par l’APMEP pour archiver
et classer l’intégralité des annales des Olympiades nationales de mathématiques. L’exploit
est de taille puisque la base, accessible d’un simple clic sur le site de l’association,
s’enrichit chaque année d’une centaine d’énoncés… Et d’autant de corrigés !

Dans la veine des précédents, le cru du 15 mars 2017 (le 14 mars en Polynésie Française)
des Olympiades nationales de mathématiques satisfait tous les goûts tant la palette
des sujets abordés est grande. Une fois compilée par l’APMEP, cette matière
constitue un outil pédagogique précieux au service des futurs candidats et, dans le
quotidien de leurs classes, de leurs enseignants. Qu’ils ne s’interdisent pas d’exploiter
ces ressources au fil de leur progression, sous la forme de devoirs, de notes culturelles,
d’approfondissements, d’activités de complément. Nous reproduisons en annexe deux
exercices nationaux, l’un posé à la session 2017, l’autre en 2016, reflétant bien le travail
proposé et calibré pour une heure de temps environ. L’exercice 2017 illustre comment
l’outil informatique permet, grâce à une étude extensive de cas, de généraliser
une propriété. Un peu comme il arrive de fonder une récurrence sur pléthore de rangs
initiaux avant d’en déclencher l’hérédité. Un peu comme on escalade aujourd’hui la
conjecture faible de Goldbach. Tout en abordant des questions modernes d’optimisation,
l’exercice 2016 met à l’honneur des connaissances du collège aussi essentielles
que les volumes et les surfaces des solides usuels, les identités remarquables, les inégalités
 ; ou historiques et esthétiques que les fractions égyptiennes. Contrairement aux
représentations, les énoncés sont volontiers progressifs sans être monolithiques : en
cela, ils conviennent et motivent un grand nombre de nos élèves.

Il faut aussi avoir conscience que les meilleurs élèves résolvent tout, ou presque
tout, qui plus est dans un style impeccable. Tandis que certains lycées présentent une
dizaine de candidats chaque année, d’autres en alignent une bonne centaine. Et le nombre
d’inscrits selon l’académie (toutes proportions gardées) peut varier du simple au
quadruple. Devant ces disparités, il est important que les établissements géographiquement
proches unissent leurs forces pour offrir une préparation suivie aux
élèves volontaires. Citons en exemple l’organisation des lycées du Grand Clermont,
dont les élèves se retrouvent hebdomadairement à l’IREM de Clermont-Ferrand pour
y préparer l’échéance, sous la houlette d’une petite équipe de professeurs qui s’y relaient.
Cette initiative du Rectorat d’académie a fait des émules, puisqu’elle sera reprise
à la rentrée 2017 dans le bassin chalonnais, académie de Dijon, celui de Troyes,
académie de Reims, et celui d’Ajaccio, académie de Corse. Les enseignants désireux
de s’investir sur de tels projets sauront s’inspirer de ces modèles de mutualisation, les
transposer, les réinventer localement, en concertation avec les inspecteurs d’académie – inspecteurs pédagogiques régionaux et les proviseurs, et en réseau d’établissements.

Ils contribueront ainsi à faire des Olympiades nationales de mathématiques et, au-delà,
des concours en général (concours général, rallyes, concours des régionales, Kangourou,
castor informatique, Al-Kindi, …) un adjuvant pédagogique efficace, un outil
de travail collectif, et une modalité – parmi beaucoup d’autres – de révéler et de récompenser
des jeunes gens méritants et aux profils variés. Ils ont toute la confiance
de l’institution pour y réussir.

Exercice national numéro 1 (à traiter par tous les candidats) 2017

On considère la fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels non nuls, qui à
tout entier naturel non nul associe la somme des carrés des chiffres de son écriture décimale.

Ainsi, par exemple,$ f (5) = 5^2 = 25$, $f (29) = 2^2 + 9^2 = 85$, $f (132) = 1^2 + 3^2 + 2^2 = 14.$

Introduction

• 1.
• a. Calculer $f (1)$,$ f (11)$ et $f (111)$. Démontrer que tout entier naturel non nul admet
  au moins un antécédent par f.
  
• b. Calculer $f (23), f (32)$ et $f (320)$.
• c. Démontrer que tout entier naturel non nul admet une infinité d’antécédents par f.
  

La suite des images successives d’un entier

Étant donné un entier naturel non nul $u_0$, on considère la suite de nombres définie par
$u_0$ et par ses images successives par f notées $u_1 = f (u_0)$, $u_2 = f (u_1)$, …, $u_{n+1}= f (u_n)$,
etc.

• 2. Calculer les cinq premiers nombres de cette liste pour $u_0 = 301$, puis pour $ u_0 = 23$
  et pour $u_0 = 1030$.
  Que peut-on en déduire pour les termes suivants de chacune de ces trois listes ?
• 3. Calculer les nombres $u_0, u_1, u_2$, … $u_8$ pour $ u_0 = 4$.
  Quels sont les nombres suivants de la liste dans ce cas ?
  

Étude d’une propriété

On souhaite démontrer la propriété suivante, notée P dans la suite du problème :
Si $u_0$ est un entier non nul :
 soit, il existe un rang N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, $u_n = 1$.
 soit, il existe un rang M tel que $u_M = 4$, et les termes suivants sont alors 16, 37, 58,
89, 145, 42, 20, 4,…
On dit dans ce cas que la suite est périodique, de période 8, à partir du rang M.

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Exercice national numéro 1 (à traiter par tous les candidats) 2016

En architecture, on appelle facteur de compacité d’un bâtiment le rapport de la surface
extérieure – y compris la base en contact avec le sol – de ce bâtiment, mesurée
en m², à son volume, mesuré en $ m^3$. Le facteur de compacité, $c={s \over v} $ exprimé en $ m^{-1}$,
donne une première évaluation grossière des performances thermiques d’une construction
d’habitation.

1. Calculs de compacité pour quelques volumes usuels, dessinés ci-dessous.

• a. Déterminer le facteur de compacité d’un cube de côté a.
• b. Déterminer celui d’une demi-sphère de rayon r. On rappelle que le volume d’une
  sphère de rayon r est $ {4\over 3}πr^3 $ et que sa surface a pour aire $4πr^2.$

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