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Les carrés magiques du Lo Shu au Sudoku.

Marc Roux

- 8 janvier 2013 -

par Arno van den Essen.

Belin, 2011.

222 pages 14,5x22,5.

ISBN : 978-2-7011-5554-8, 19 €.

Écrite par un universitaire néerlandais, cette histoire et étude mathématique des carrés magiques et carrés latins, entre un Avant-propos et 35 pages d’Annexes, Bibliographie et Index, se compose de 11 chapitres :

  • 1. Le Lo Shu.
  • 2. Le carré du temple de Khajuraho.
  • 3. un mathématicien de génie.
  • 4. Les carrés latins.
  • 5. La conjecture d’Euler.
  • 6. Des carrés de plus en plus magiques.
  • 7. Le retour du Lo Shu.
  • 8. un prix pour une énigme.
  • 9. Le Saint Graal.
  • 10. Le mystère Franklin.
  • 11. Les sudokus.

L’ouvrage s’adresse à un lecteur sans connaissance mathématique préalable ; on trouve néanmoins dans le texte certaines démonstrations, claires, rigoureuses et convaincantes ; d’autres, moins élémentaires mais toujours très lisibles, sont reportées dans les Annexes. Pour des développements plus poussés on est renvoyé au site www.math.ru.nl/lo_shu_tot_sudoku (accueil en néerlandais, documents en anglais).

L’auteur nous convie à une promenade chronologique, du premier carré magique d’ordre 3, le Lo Shu (Chine, vers 2800 av. J.C.) jusqu’aux découvertes les plus récentes, auxquelles il a personnellement contribué, telles la NP-complétude du sudoku, ainsi qu’aux questions encore ouvertes. Il nous présente, et situe dans leur contexte historique, les apports de nombreux savants, tels Lucas, Benjamin Franklin, et surtout Euler, dont la biographie occupe tout le chapitre 3. C’est l’occasion de quelques digressions historico-mathématiques fort intéressantes. Les rapports entre carrés magiques, carrés latins, sudokus, marche du cavalier, triplets pythagoriciens, sont clairement expliqués. L’intervention de mathématiques de haut niveau est évoquée : ainsi l’auteur et deux autres chercheurs ont utilisé l’algèbre linéaire et les corps finis pour prouver, en 2005, que pour tout entier n il existe un carré n-multimagique (c’est-à-dire tel que les carrés formés par les puissances 2èmes, 3èmes, …, n-èmes de ses nombres sont tous magiques).

Les quelques réserves à apporter à ce beau travail concernent plutôt la traduction française  : d’une part on peut être agacé de, trop souvent, lire « chiffre » à la place de « nombre » ; mais surtout la bibliographie ne renvoie qu’à des ouvrages en anglais, alors que, par exemple, le livre de Maurice Kraitchik cité p. 67 existe en édition française de 1930 chez Vuibert (La mathématique des jeux ou récréations mathématiques). Il contient un chapitre de 100 pages sur les carrés magiques et un autre de 80 sur le problème du cavalier ; il a servi de point de départ à l’abondante littérature sur les jeux mathématiques développée depuis plus de quarante ans en particulier dans les Irems et à l’APMEP ; APMEP qui a elle-même publié deux brochures sur ce sujet : « Les carrés magiques  » (Glaymann, Belouze, Haug, Herz) n° 010, 1975, et, en coédition avec Vuibert « Les carrés magiques » (Descombes) n° 905, 2000.

On peut aussi regretter que les applications concrètes des carrés latins orthogonaux (ou carrés gréco-latins), citées page 56, ne soient pas explicitées un minimum, au moins dans leur principe.

Il s’agit néanmoins d’une excellente et riche contribution à la culture mathématique.

Marc ROUX avec la contribution de Paul-Louis HENNEQUIN

(Article mis en ligne par Christiane Zehren)