Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 499 - 1 (Michel Lafond (Dijon))

On pose $a_0= 0, a_1= 1$ et pour $n \in \mathbb N^*$ , $a_{2n}=a_n$ et $a_{2n+1}= a_n + a_{n+1}$.
Montrer que pour $n \in \mathbb N$, on a $a_n \le n^{0.695}$.
Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels $n \in \mathbb N$ tels que $a_{2n} \ge n^{0.694}$.

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Problème 499 - 2 (Xavier Reliquet (Paris))
Tout sous-corps de $\mathbb C$ est-il stable par conjugaison ?

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Problème 499 - 3 (François Duc (Orange))
On pose $u_1=1, u_2= 2$. Pour $n \ge 2$, $u_{n+1}$ est le plus petit entier naturel strictement
positif, différent de $u_1, u_2, …, u_n$, premier avec $u_n$.
Montrer que la suite u est une
permutation de $\mathbb N^*$ . Étudier son comportement en +∞.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 492-3
Une droite $\Delta$ coupe un triangle ABC et le partage en deux polygones de même aire et même périmètre. Montrer que la droite $\Delta$ passe par le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

Solutions de Maurive Bauval (Versailles), Robert Bourdon (Tourgeville), Marc Roux (Nîmes), Vincent Crombez (Clermont-Ferrand), Jean-Yves Hély (Rennes), Benoît Gugger (Aubière), Raymond Heitz (Lavergne), Georges Lion (Wallis), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Bernard Lefrançois (Lyon), Alain Marcourt (Sainte Savine), Éric Oswald (Borgo), Alain Perron (Clelles), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), David Vicente (Bourges).

Raymond Heitz précise que ce problème fut déjà posé par le passé, par exemple page 155 dans la brochure « Les 200 premiers problèmes de l’APMEP », ou encore pages 21-22 dans « Exercices de Géométrie Analytique », de Aubert et Papelier, publié chez Vuibert.

Voici une première solution, entièrement géométrique, due à Georges Lion suivie de solutions plus analytiques ainsi que des remarques sur la réciproque et la question de l’existence.

Problème 493-1
soit $(a_n)_{n \ge 1}$ une suite de réels tels que pour tout $i,j \in \mathbb N^*, a_{i+j} \le a_i+a_j$
Montrer que pour tout $n \in \mathbb N^*$

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_k}{k} \ge a_n$$

Solutions de Maurive Bauval (Versailles), Moubinool Omarjee (Paris), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

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