Limoges : sujet 1

Thème : DENOMBREMENTS

ÉNONCÉ

Un problème de magie

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On écrit successivement les entiers de 1 à $n^2$ dans les cases d’un tableau carré à n lignes et n colonnes en les plaçant de gauche à droite et de haut en bas.

On choisit un de ces nombres au hasard que l’on entoure et on barre tous les autres nombres de sa ligne et de sa colonne.

Parmi les nombres non entourés et non barrés, on en choisit un au hasard que l’on entoure et on barre tous les autres nombres de sa ligne et de sa colonne.

On recommence jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul nombre que l’on entoure.

On fait la somme S de tous les nombres entourés.

1. On étudie le cas n = 3.

Ci-dessous, on a un exemple d’état final et S = 4 + 2 + 9 donc S = 15

Représenter tous les états finaux possibles et vérifier qu’à chaque fois, on trouve S = 15.

2. On étudie le cas n = 4. Montrer que chaque état final conduit à une même somme S que l’on déterminera.

3. Etudier de même le cas n = 17.

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