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Matériaux pour une documentation

Henri Bareil

- mars 2000 -

SOMMAIRE :

1. "L’HEURISTIQUE OU LE PLAISIR D’ENSEIGNER" - Un demi-siècle d’expériences heureuses par Yves Crozes

2. MATHS ET TABLEUR AU COLLÈGE. Classe de troisième, par une équipe de neuf collègues (Paulette Laur, ...)

3. "RÉDACTION ET NIVEAUX DE RIGUEUR EN MATHÉMATIQUES", par Roseline Marquès ET V. Aptel, Ch. Denux, R. Pouget. IREM

4. VERSION 7 de "36 ÉLÈVES, 36 CALCULATRICES", par E. Boursey, D. Noyarie, R. Thomas

5. "LE SORCIER MATHEUX. Mise en pièces - de théâtre - de notions mathématiques. Tome 3 : (Au café des) NOMBRES", par J.-M. Foutel et F. Vert

6. "MATHS : EXERCICES (560) RÉSOLUS ET EXPLIQUÉS. FONCTIONS RÉELLES" (TOME 1), par Michèle Garin

7. DES COMPÉTENCES TERMINALES EN MATHÉMATIQUE pour l’enseignement secondaire - 1999 - par J.P. Cazzaro, G. Noël, F. Pourbaix, P. Tilleul

8. LES CARRÉS MAGIQUES. "Histoire, théorie et technique du carré magique, de l’Antiquité aux recherches actuelles", par René Descombes

9. "CHEMINS DE L’ALÉATOIRE. Le hasard et le risque dans la société moderne." par Didier Dacunha-Castel

10. BOURBAKI, une société secrète de mathématiciens, par Maurice Mashaal

11. TRIANGLE DE PENSÉE par Alain Connes, André Lichnerowicz et Marcel-Paul Schûtzenberger

12."LA PULSATION MATHÉMATIQUE. Rigueur et ambiguïté, la nature de l’activité mathématique, ce dont il s’agit d’instruire", par René Guitart

13. Géométrie et applications. I. STRUCTURES ALGÉBRIQUES EN GÉOMÉTRIE - Collection Capes/Agrégation - par Pierre Aimé

14. Géométrie et applications. INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE - Collection Universités, MÉCANIQUE - par Pierre Aimé

15.[ Cours de géométrie, Agrégation de Mathématiques-#a15], par Patrice Tauvel

16. "THÈMES DE GÉOMÉTRIE. Groupes en situation géométrique", par Michel Alessandri

17. "INFORMATION, COMPLEXITÉ ET HASARD", Deuxième édition (revue) - 1999 - par Jean-Paul Delahaye

 

1. " L’HEURISTIQUE OU LE PLAISIR D’ENSEIGNER " - Un demi-siècle d’expériences heureuses. par Yves CROZES.

Brochure de 130 pages en A5. Disponible, pour 20 F, chez M. Jean-Yves LODS, 34 rue du Noyer-Grenot, 94310 ORLY.

Militant de l’APMEP, souvent membre de son Bureau National, co-organisateur des grandes conférences de l’APMEP des années 60, auteur de manuels, pionnier de l’IREM de Paris-Sud, ..., Yves Crozes est décédé le 6 août 1999, en sa 91e année, le jour même où paraissait " L’heuristique ou le plaisir d’enseigner ".

Ce livre raconte les grands moments d’une vie qui fait corps avec l’enseignement, de l’écolier au professeur. Admirateur de Voltaire, Yves Crozes en a le style à la fois simple et prenant, de plus émouvant.

Il était la gentillesse et le dévouement mêmes. Son regard de confiante bonté savait faire vivre. Quelle capacité d’émerveillement ! Quelle aptitude à saisir en toutes choses de quoi faire un miel pour soi et les autres !

On appréciera la tonalité du livre, flamme d’humanisme, et les méthodes d’enseignement préconisées pour rendre les élèves acteurs de leur formation. Les temps ont certes bien changé, et bien idylliques sont ceux d’Yves Crozes. Mais, dans un contexte hélas plus difficile, notre ambition est toujours la même.

Pour ce livre, hymne aux mathématiques " de terrain ", hymne aux élèves, Yves Crozes nous offre la joie et le ravissement de sa vie. Comment ne pas la partager, pour vivre la même espérance ?

Henri BAREIL

 

2. MATHS ET TABLEUR AU COLLÈGE. Classe de troisième, par une équipe de neuf collègues (Paulette LAUR, ...). Éd. IREM de Clermont, 63177 AUBIERE CEDEX.

Brochure de 48 pages en A4. Prix : 30 F (42 F avec port).

La présentation matérielle est à la fois dense et excellente, et les textes eux-mêmes fort bons. Le tout doit faire de cette brochure un outil appréciable.

o Une INTRODUCTION de deux pages situe bien " l’objectif-tableur " et la structure de la brochure :

- " Fiches professeurs " (15 pages) en couleur.

- " Fiches élèves " (16 pages) et " Fiches exercices " (3 pages) photocopiables. Il y a parfois deux fiches, une pour Excel, une pour Works, parfois à compléter un peu selon la version.

- Fichiers sur disquette (sur Internet) Works (3.0) et Excel (4.0).

Les feuilles de calcul sont téléchargeables à http://www.ac-clermont.fr/pedago/maths/.

o SUJETS TRAITÉS (indépendamment) :

- division euclidienne, partie entière d’un nombre,

- pgcd et algorithme d’Euclide, simplification de fractions,

- fonctions linéaire et affine,

- moyenne,

- médiane, effectifs cumulés,

- comparaison de séries statistiques.

o DEUX PAGES d’excellents conseils doivent faciliter la mise en place d’une séance tableur.

Henri BAREIL

 

3. " RÉDACTION ET NIVEAUX DE RIGUEUR EN MATHÉMATIQUES ", par Roseline MARQUÈS ET V. APTEL, Ch. DENUX, R. POUGET. IREM, 31062 Toulouse Cedex.

72 pages en A4 (dont 26 de copies d’élèves). Très claire présentation. Prix : 30 F (+ 10 F de port)

Cinq grandes parties :

I. La notion de rigueur, de Platon et Euclide à nos jours, en un bon aperçu par branche des mathématiques.

II. Des recherches préalables : Analyses de rédactions et de comportements, rôle du " soupçon ".

III. Représentation de la notion de rigueur chez les enseignants et les élèves : test élèves, test enseignants. Résultats. Leurs analyses, comparées par des diagrammes en étoile relatifs aux attentes des enseignants, des élèves, des stagiaires, des filles, des garçons, vis-à-vis de " justifié, clair, précis, argumenté, détaillé, ... ". Le critère " justifié " l’emporte, mais comment l’évaluer ?

IV. Évaluation de la rigueur d’un écrit par des enseignants. Des analyses de 16 rédactions laconiques font notamment ressortir la difficulté à juger de la rigueur de façon intrinsèque ainsi que " la différence entre la conception théorique de l’enseignant et sa pratique dans la classe ".

V. Évaluation de la rigueur dans les copies de bac. Étude à partir du sujet 1996 de S.

La conclusion générale marque les divergences entre " élèves " et " enseignants " - par exemple à propos du rôle des tableaux de variation - et la multiplicité des paramètres qui influent sur l’appréciation de la rigueur : souci d’évaluer les connaissances (surtout de l’année), niveau de la classe, niveau auquel se fait une démonstration, " soupçon ",...

Il était bon, me semble-t-il, que tout cela soit mis en évidence, sur le " terrain ", par des enseignants du " terrain ", en un travail bien construit, bien rédigé en un style agréablement mesuré et solidement réfléchi.

Henri BAREIL

 

4. VERSION 7 de " 36 ÉLÈVES, 36 CALCULATRICES ", par E. Boursey, D. Noyarie, R. Thomas. Dossier photocopiable. IREM de Lyon, 69622 VILLEURBANNE CEDEX.

Prix en F (dans l’ordre : enseignant ; établissement ; port). Actualisations : 35 ; 50 ; 16. Version 7, brochure : 190 ; 250 ; 45. Version 7, CDRom : 150 ; 150 ; 6,70.

Les Bulletins APMEP 309, 408, 420 pour la version 6, ont déjà parlé de ce remarquable outil évolutif. Merci aux auteurs !

La version 7 intègre les Casio G 25, G 65, la TI 83 Plus et, surtout, la Casio G 100, plus encore les HP 48 G+ et HP 49 G.

o De là, les HUIT DOSSIERS habituels, renforcés :

- 24 Dossiers-élèves pour 42 calculatrices (modèles de -) : programmation d’une fonction, tracé de courbes, apprentissage au graphisme et table de valeurs.

- Les Dossiers statistiques (avec, en cette version,, les calculatrices " de collège " les plus courantes) :

- à une variable (34 fiches pour 75 calculatrices),

- à deux variables (37 fiches pour 66 calculatrices) avec, aussi, de nouveaux calculs.

- Les Dossiers d’analyse :

- nombre dérivé (16 fiches pour 46 calculatrices),

- intégrale définie (16 fiches pour 32 calculatrices),

- suites (dossier nouveau, avec six groupes de calculatrices et deux fiches-élèves pour chacun).

- 16 Fiches-mémo pour 36 calculatrices ; Dossier Programmation ; Dossier-professeur (17 pages).

o Un CDRom reproduit toutes les fiches du dossier photocopiable, avec deux entrées (par thème, par calculatrice), et permet un accès direct à quelques sites (de HP, Casio, Sharp, TI, IREM de Lyon, Nouvelles technologies de l’Université Lyon 1). Utilisation facile.

Henri BAREIL

 

5. " LE SORCIER MATHEUX. Mise en pièces - de théâtre - de notions mathématiques. Tome 3 : (Au café des) NOMBRES ", par J.-M. FOUTEL et F. VERT. Éd. Ellipses.

156 pages (et 32 personnages !) en 145 ¥ 190. No ISBN 2-7298-7830-0.

Indépendant des deux premiers, ce Tome 3 est construit et rédigé comme eux. On se reportera aux Bulletins 405 et 409 pour les Tomes 1 et 2. Cette fois, il est question des bases de numération, des nombres premiers, premiers entre eux, des rationnels-irrationnels, de i, ... Un bon livre de CDI Collèges ou Lycées (selon les pages).

Henri BAREIL

 

6. " MATHS : EXERCICES (560) RÉSOLUS ET EXPLIQUÉS. FONCTIONS RÉELLES " (TOME 1), par Michèle GARIN, qui est son propre éditeur.

673 pages manuscrites en 176 ¥ 237. Pour toute information, Tél.-fax 32 (2) 705.20.79 ou 32 (2) 675.91.56 ou 32 (58) 51.05.74.

Cet ouvrage belge, vendu, en France, à la librairie Le Furet du Nord, à Lille, concerne surtout les fonctions du premier et du second degrés, avec des ouvertures nombreuses sur des fonctions plus compliquées. Calculs et graphiques sont étroitement liés. Les résultats essentiels s’en dégagent peu à peu.

L’auteur a la passion de l’application. Elle y excelle avec des angles d’attaque variés, beaucoup d’entraînement méthodique, des reprises en spirale. Des déductions intuitives y jouxtent des approches rigoureuses confortées par une fréquente utilisation de contre-exemples.

Le Bulletin 397, pages 433-434, rendait compte d’un précédent ouvrage du même auteur (" Algèbre "). L’actuel, de la même veine, prend aussi par la main pour faire comprendre. En France, il peut rendre des services en fin de collège et au lycée. Pourquoi pas, d’abord, en C.D.I. ?

Henri BAREIL

 

7. DES COMPÉTENCES TERMINALES EN MATHÉMATIQUE pour l’enseignement secondaire - 1999 - par J.P. Cazzaro, G. Noël, F. Pourbaix, P. Tilleul. Éditeur : Université de Mons-Hainaut.

Ouvrage de 645 pages en A4. Bibliographie abondante. Index copieux. Présentation excellente. Disponible sur Internet et téléchargeable gratuitement à http://www.agers.cfwb.be ou disponible sur CDRom pour 33 F pour la CEE et 42 F pour les DOM-TOM, port compris. Détails techniques et commandes à : Guy.Noel@umh.ac.be

Il s’agit de " conclusions après deux ans de réflexion sur le sujet ". Ainsi parlent de trop modestes auteurs... Ils y ont consacré bien plus !

" L’état des lieux " et l’analyse de l’activité mathématique (celle des mathématiciens aussi bien que celle pratiquée en classe) ont très vite conduit les auteurs à tout centrer, comme " compétence globale ", sur " l’aptitude à poser et résoudre des problèmes ". Encore faut-il savoir enseigner dans cette optique. Et comment évaluer ?

De là les diverses parties de l’ouvrage :

PREMIÈRE PARTIE ; ANALYSE THÉORIQUE (185 pages)

Les " compétences " sont soit conceptuelles (synonyme : structurelles) - les savoirs -, soit procédurales - les savoir-faire -. L’état des lieux n’oublie pas les problématiques de l’APMEP, ni les " standards " du NTCM, ni des suisses ou des anglais... Mais " la mathématique ", autrefois " science des nombres et de l’étendue " serait-elle plutôt aujourd’hui " science des modèles ", " de l’observation et du codage de régularités dans le monde des objets et des symboles " ? Les activités correspondantes conduisent au rôle central des problèmes, sans exclure pour autant tout comportement plus traditionnel. Le passage " du procédural au structural " permet aux auteurs, outre des aperçus sur quelque neuf thèmes ou domaines (de l’égalité à l’informatique, en passant par l’implication, les quantificateurs, ...), de préciser " les trois phases de SFARD " souvent utilisées par la suite :

- l’intériorisation (familiarisation et savoir-faire),

- la condensation (accès au concept),

- la réification (concept détaché des modes d’acquisition).

Les " modèles mentaux ", parfois antérieurs au processus, peuvent apparaître durant les deux premières phases. Souvent redondants, voire entachés d’informations parasites, ils s’affinent peu à peu...

Le phénomène majeur d’accès au structural serait " la compression des idées " : il n’est plus alors besoin de mémoriser des aspects secondaires, sinon il y aura " mémorisation des procédures comme moyen de défense et impossibilité d’accéder à une perspective globale... ".

Intégrons tout cela en réfléchissant aux problèmes :

Qu’attendre d’un " problème " idéal ? Qu’il soit difficile, sans être un casse-tête, motivant pour les élèves, exempt " d’astuces sans postérité ", qu’il puisse être " pratiqué en travail individuel ou en petit groupe sans " bénéficier " à tout moment de l’encadrement de l’enseignant ".

Mais pourquoi l’activité essentielle de résolution de problèmes reste-t-elle si limitée ? Les auteurs incriminent l’organisation scolaire, des programmes trop rigides, des difficultés d’ordre méthodologique (difficiles à résoudre...), ... et préconisent une hiérachisation des compétences en fonction de trois objectifs :

- formation de l’esprit,

- fonction culturelle,

- fonction utilitaire.

Cette dernière ferait insister sur l’algèbre linéaire (associée à la géométrie, surtout dans l’espace), l’analyse et les stats-probas (jusqu’à l’outil des tests d’hypothèse et des intervalles de confiance). Quant à la fonction culturelle, elle ne peut se concevoir qu’en " laissant les enseignants choisir eux-mêmes des sujets qui soient à la fois accessibles et motivants pour leurs élèves "...

Un " point de vue mathématique " loue et explore des " changements de cadres ", lutte contre " le rejet des approximations ", analyse de grands outils : linéariser, discrétiser, géométriser, numériser, probabiliser, approcher, ..., incorporant éventuellement tableurs ou logiciels (Cabri, Logo, ...).

Un " point de vue didactique " nous intéresse à l’heuristique et offre treize pages sur des stratégies de recherche...

À propos des " cas particuliers ", puis-je insister : loin de les dénigrer, il faut apprendre à les utiliser, et pas seulement marginalement ou pour des conjectures ! Ainsi, dans un chapitre ultérieur, résoudra-t-on un beau problème d’aires relatif à un triangle ABC en traitant le cas ABC rectangle isocèle puis, de là, en atteignant immédiatement le cas général par une transformation affine (qui conserve les rapports d’aires).

Un " point de vue psychologique " présente notamment :

- un problème de minimum étudié selon les étapes de A. SFARD,

- une taxonomie d’objectifs cognitifs de Régis GRAS,

- une étude des " niveaux (de 0 à 4) de VAN HIELE ", une affirmation pouvant être correcte à un niveau (ainsi : " un carré n’est pas un rectangle " !) et fausse à d’autres (cf. d’ailleurs, une excellente approche de cette théorie dans le Bulletin no 415, pages 153 à 161), par Annette MICHOUX-BRACONNE). La présente étude propose une amodiation grâce à cinq " degrés d’acquisition d’un niveau " ...

À ce stade, les auteurs relatent leur propre expérimentation d’une activité de résolution de problème, avec des " décalages ", des quêtes et impasses, des certitudes ... douteuses, et d’heureux changements de cadres. Problème " ouvert ", mais non pas " situation-problème ", faute de postérité.

Mais la résolution de problèmes doit dégager des méthodes, des synthèses (" un cours de théorie "). Comment réussir cette intégration, marier inductif et déductif, ne pas gommer les " états intermédiaires ", ... ? Il s’agit de " PROBLÉMATISER " le cours de maths... À titre d’exemple, à partir du flocon de neige de VON KOCH, les étapes de A. SFARD conduiront à des concepts relatifs aux suites... (Prime de lecture : qu’est-ce qu’un " procept " ?).

DEUXIÈME PARTIE. DES PROBLÈMES (78 pages)

Huit " situations-problèmes " très variées illustrent, à fond !, la première partie. Un régal !

TROISIÈME PARTIE. SÉQUENCES D’ENSEIGNEMENT (116 pages)

Il s’agit de trois séquences expérimentées, puis modifiées en conséquence :

- Du discret au continu : l’intégrale. 70 pages très détaillées : mise au point, expérimentation avec les étapes de A. SFARD, notes fournies aux élèves, réactions et conclusions, postérité : une nouvelle version des notes de cours.

- Un peu d’algèbre linéaire (calcul matriciel, ...).

- Initiation aux probabilités.

QUATRIÈME PARTIE. OUTILS PÉDAGOGIQUES (82 pages)

" La " problématisation du cours " est une chose difficile et l’enseignement supérieur n’y prépare que rarement ".

Sous le titre " Géométrie Écrite et Algèbre Visuelle " (i.e. algèbre et géométrie, d’après Sophie Germain), l’ouvrage propose un module de formation à 14 volets (barycentres, produit scalaire, statistiques et distances minimales, évolution d’une population, herbier de transformations, systèmes d’équations...) avec une unification de ces points de vue apparemment fort divers, notamment par les représentations matricielles et la géométrie dans l’espace..., à travers, aussi, 26 exercices et 21 problèmes.

CINQUIÈME PARTIE. L’ÉVALUATION (102 pages)

Il s’agit d’abord de :

- dégager des pistes (malaisées) d’évaluation des résolutions de problèmes (utilisation de ce qui, en France, s’appelle " narrations de recherche " ; " notes vectorielles " ; ...),

- envisager le cas d’élèves confrontés à la réalisation de dossiers-projets. Beaucoup de questions : durées, sujets, aides...

Tout un chapitre est ensuite consacré à un examen à l’Université et à l’évaluation du questionnaire afférent.

SIXIÈME PARTIE - ANNEXE - L’ANALYSE DES CORRESPONDANCES (20 pages)

MA CONCLUSION :

Il s’agit d’un ouvrage fondamental. J’ai essayé d’en mettre en évidence quelques points forts, mais bien d’autres choses sont abordées. Les exposés sont clairs, à la fois fermes et nuancés, avec beaucoup d’exemples. Le style est limpide, les chapitres bien structurés.

Surtout l’ensemble est un bel outil de réflexion et un exemple de rénovation de notre enseignement.

Quelques français sont largement cités : Régine DOUADY pour ses jeux de cadres, Régis GRAS et, surtout, Georges GLAESER, pionnier pour le rôle des problèmes et pour l’évaluation. Mais, de façon générale, les auteurs recourent plus aux faits mathématiques qu’aux citations : ils ont tant à montrer, tant à proposer, et ils le font si bien !

Henri BAREIL

 

8. LES CARRÉS MAGIQUES. " Histoire, théorie et technique du carré magique, de l’Antiquité aux recherches actuelles ", par René DESCOMBES. Éd. Vuibert.

Ouvrage de 496 pages en 175 ¥ 240. Excellente présentation en noir et blanc, très limpide. Bibliographie. Table des matières détaillée. Prix : 299 F. No ISBN : 2-7117-5261-5.

Il s’agit d’une vraie " somme ", regroupant en 35 rubriques quelque 250 études. Elles couvrent tous les types de carrés magiques et les constructions les plus classiques, apparues au fil des siècles.

Chemin faisant, on y retrouve marginalement de jolis problèmes classiques : le voleur de bouteilles (Bachet), l’armée fantastique d’Harold le Saxon, les meurtres en série de Sing Sing, ... et des problèmes plus originaux : route en chaînettes pour des déplacements avec des roues carrées, carrés magiques érigés en mobiles de Calder...

Il y a aussi deux intéressants chapitres sur " Le carré au point de vue mathématique " et sur des " Pavages " de carrés, rectangles, ... ainsi que des extensions des carrés magiques à d’autres figures magiques (cercles, cubes, ...).

L’ensemble, illustré de nombreux dessins, se lit bien, avec un intérêt toujours soutenu, sans cesse ravivé.

La Bibliographie (12 pages) est dans l’ordre chronologique (je note que l’auteur, au fil des pages, cite ses sources). On trouvera, de plus, trois programmes informatiques, un tableau résumé de méthodes de construction, un glossaire et des rappels de formules mathématiques.

On ne saurait, me semble-t-il, trouver mieux.

Henri BAREIL

 

9. " CHEMINS DE L’ALÉATOIRE. Le hasard et le risque dans la société moderne. " par Didier DACUNHA-CASTELLE, chez " Champs-Flammarion ".

265 pages. No ISBN 2-08081440-1.

Paru en 1996, l’ouvrage vient d’être réédité, fort bien, en Livre de poche, cette fois, pour 44 F. On se reportera au compte rendu détaillé - élogieux - paru dans le Bulletin 407, p. 755-756, sous la signature de Paul-Louis Hennequin (cf. aussi p. 255). Un livre à posséder.

Henri BAREIL

 

10. BOURBAKI, une société secrète de mathématiciens, par Maurice MASHAAL. Pour la Science, LES GÉNIES DE LA SCIENCE no 2. Février 2000.

98 p. 39 F.

L’histoire des mathématiques du XXe siècle ne peut ignorer Nicolas Bourbaki et l’influence profonde qu’il a eu jusqu’à aujourd’hui sur l’école mathématique française, sur l’enseignement universitaire, sur celui du second degré (à son corps défendant) et combien il a marqué l’ensemble de la production mathématique mondiale du second demi-siècle.

Il est donc normal que " Pour la Science " lui consacre en cette année mondiale des mathématiques le numéro 2 de son nouveau périodique " Les génies de la Science " dont le premier concernait Galilée.

De nombreux ouvrages ou documents ont été consacrés à notre héros, en particulier ceux de L. Beaulieu et de M. Chouchan et l’auteur, journaliste scientifique, s’en est inspiré, consultant une vingtaine de familiers appartenant à trois générations. Pour ceux qui, comme moi, ont été l’élève, le camarade ou le collègue de nombre des protagonistes, qui ont été nourris dès leur parution des premiers volumes des " Éléments de mathématiques ", qui ont fréquenté le séminaire Bourbaki, cette publication est surtout un magnifique album de photos de famille, dont certaines circulaient depuis longtemps, mais dont la plupart sont extraites pour une fois de cartons confidentiels.

Reprenant l’histoire à son début, l’ensemble est structuré en douze chapitres : qui est Bourbaki ? ; un groupe se forme, la saga d’un nom, jeunes turcs contre pontes sclérosés, les " Éléments de mathématiques ", cap sur l’axiomatique et les structures, bribes bourbachiques : les filtres, le séminaire Bourbaki, potaches subtils et austères, Pour l’honneur de l’esprit humain ? les " maths modernes " à l’école, un mathématicien immortel ?

L’avant-dernier concerne directement l’A.P.M.E.P. qui y est d’ailleurs citée pour les conférences de Cartan et Schwartz dans les années 60. Rappelant la définition de la droite graduée et celle de l’angle de deux demi-droites vectorielles telles qu’elles figuraient dans les manuels de 70-71, l’auteur prend acte de l’échec des " maths modernes " dans le monde entier, mais regrette qu’on n’ait pas mesuré et analysé cet échec quantitativement. Il cite Schwartz : " le résultat ne pouvait que être catastrophique puisque l’on faisait passer au second plan tout souci pédagogique : motivations et acquis des élèves, formation des enseignants, ... ", omettant de signaler qu’un des acquis de la Commission Lichnerowicz fut la création des IREM.

Le rôle de Bourbaki dans la réforme est minimisé alors que P. Cartier affirme " Bourbaki a eu pas mal d’influence, mais il en a décliné les responsabilités ".

Le chapitre se termine par une vive critique des programmes actuels et de leur enseignement par J.-P. Kahane, P. Samuel, M. Demazure ; sur ce point, l’auteur aurait pu consulter l’A.P.M.E.P.

Un lecteur extérieur à la communauté sera peut-être frappé par l’apparente contradiction entre la rigueur et le sérieux de l’œuvre mathématique et l’ambiance bon enfant et canularesque dans laquelle s’est effectuée sa gestation. Nos élèves, attirés par la photo des six adolescents de la couverture y apprendront comment vivent les mathématiques.

Paul-Louis HENNEQUIN

NDLR : Vous pouvez aussi consulter le dossier qui se trouve sur le site de "Pour la Science" :

http://www2.pourlascience.com/genie...

 

11. Triangle de Pensées par Alain CONNES, André LICHNEROWICZ et Marcel-Paul SCHÜTZENBERGER. Éd. Odile Jacob, Paris, Janvier 2000.

No ISBN 2-7361-0762-1, 215 p., 140 F.

La relativité générale, la mécanique quantique, le théorème de Gödel modifient en profondeur notre perception de la réalité ; cet ouvrage, au centre d’un triangle dont les sommets seraient Mathématiques, Physique et Philosophie, se propose de permettre à un public large, mais éclairé, de franchir le décalage croissant entre les subtilités de ces modifications appréciées des seuls spécialistes et l’image souvent incroyablement déformée qu’en reçoit le public. Il rassemble la rédaction des conservations à bâtons rompus remontant à 1996 de trois mathématiciens de grande envergure : Alain Connes, André Lichnerowicz, Marcel-Paul Schützenberger, ces deux derniers disparus depuis. Compte tenu de la grande liberté d’esprit, de l’immense culture scientifique et de l’excellente aptitude à l’écoute des trois interlocuteurs, la forme du livre évite le dogmatisme d’un exposé ex cathedra et lui donne un ton profondément original.

Les entretiens sont répartis en huit chapitres.

I. Logique et Réalité (26 p.) : qu’apporte la logique mathématique ?, le théorème de Gödel, la machine de Turing, propositions vraies et non démontrables, axiome du choix non dénombrable.

II. La nature des objets mathématiques (27 p.) : objets et outils, la réalité des mathématiques source inépuisable d’informations.

III. Le Janus physico-mathématique (33 p.). Exemples de relations entre mathématiques et physique : Heisenberg et la spectroscopie ; la mécanique des matrices - Planck et le rayonnement des corps noirs : le quantum d’action - Einstein et la gravitation : géodésiques dans l’espace-temps - Gellmann et la physique des hautes énergies : les quarks.

IV. Théorie fondamentale et calculs réels (10 p.) . On connaît l’hamiltonien, mais les calculs sont incroyablement difficiles : on tombe sur des intégrales de Feynman qui n’ont pas de sens... Presque tous les phénomènes de la physique font apparaître des propriétés dues à l’échelle qui ne sont pas extrapolables ni en petit, ni en grand.

V. Mathématiques et description du monde (39 p.).

- Les nombres réels : constantes universelles, probabilités ou résultats de mesures.

- Les lois de la physique sont-elles exprimables en termes récursifs ? (le contre-exemple des pavages de Penrose).

- Les entiers, leur rôle en mécanique quantique.

- La propagation de l’information n’est pas instantanée.

- La croissance exponentielle du nombre de mathématiciens.

- Importance des conjectures.

- Le théorème de Nash en théorie des jeux.

- Les mesures en biologie et en économie sont trop imprécises pour permettre une mathématisation.

VI. Cosmologie et grande unification (28 p.). La théorie de grande unification, le big-bang, les pulsars et la relativité générale.

VII. Interprétation de la mécanique quantique (14 p.). Variables cachées, inégalités de Bell et paradoxe E.P.R.

VIII. Réflexions sur le temps (23 p.). Contrairement à l’ordinateur, l’homme ne vit pas dans un présent perpétuel à cause de l’irréversibilité des phénomènes physiques ; le temps psychologique, celui de l’individu, comporte des cycles (jour, semaine, saisons, ...) et son modèle n’est pas une droite orientée unidimensionnelle, mais un temps polycyclique.

La lecture de ce livre profondément attachant peut être abordée de deux points de vue complémentaires : chercher à reconstituer le fil directeur et la clef des grandes théories de la physique contemporaine, mais il existe déjà une abondante littérature sur la question, ou se plonger dans le dialogue avec le même plaisir que quand on lit une pièce de théâtre et apprécier le sen de la répartie, les coups de patte, l’humour souvent provocant mais d’une grande finesse des trois interlocuteurs tout en savourant les anecdotes mettant en scène un grand nombre de savants du XXe siècle.

Ce livre aidera le professeur de mathématiques à donner du sens à son enseignement.

Paul-Louis HENNEQUIN

 

12. " LA PULSATION MATHÉMATIQUE. Rigueur et ambiguïté, la nature de l’activité mathématique, ce dont il s’agit d’instruire ", par René GUITART. Collection " La Philosophie en commun " (- René Guitart est matheux -). Éd. L’Harmattan.

336 pages en 135 ¥ 215, denses mais présentation claire. Prix : 180 F. No ISBN : 2-7384-8410-7.

L’INTRODUCTION annonce d’emblée la couleur : " Ceci est une intervention politique, contre l’enseignement et pour l’instruction, contre la didactique et l’épistémologie quand elles se dévoient. Contre l’urgence que l’idéologie des inclus pose d’avoir à éduquer, à éduquer à la citoyenneté, je pose la primauté du souci d’instruire, de former des individus faiseurs d’actes (plutôt que des connaisseurs) ".

" Instruire " de quoi ? " L’acte mathématique pur existe, et c’est cela, cette manière très spéciale de penser, dont il faut instruire... "... " instruire dans la nature de l’activité mathématique elle-même qui, alliant en acte le paradoxal de la rigueur et l’ambiguïté, tient à une certaine pulsation, une certaine capacité à jouer sans fin dans l’évidence toujours entre le sens et le non-sens, en posant radicalement et laissant pourtant éventuellement modifiable ce qui est posé ".

Voilà déjà les mots-clés qui innervent un ouvrage passionné ; instruire, pulsation, rigueur, évidence... :

" Dans le champ de la pratique des mathématiques, la pulsation [...] devient le centre même de la capacité de cette activité, la manière spécifique suivant laquelle la pensée mathématique se risque, et là je l’appelle la pulsation mathématique... ".

Quant à la rigueur, il s’agit ici du " sentiment du tombé-pile d’une écriture sur une intuition " qui refuse " le diktat glacial d’une obligation artificielle " ... tandis que " l’évidence, ce n’est pas quand il n’y a pas de doute, mais quand la question même du doute a disparu, s’est résorbée intégralement ".

Surtout, injonction souvent répétée : pour saisir la pulsation mathématique, il s’agit " de s’y mettre "...

Sans doute, devine-t-on déjà l’ambition de l’entreprise et le tranchant des positions... Mais comment y deviner la richesse de réflexion et d’apports que j’y ai trouvée ?

Le livre est organisé en 101 séquences à la queue leu leu qui entrecroisent les fils des prises de position " politiques " (cf. début de mon texte) et les activités mathématiques. Un même thème se précise parfois en chaîne discontinue. Ainsi le cercle fait notamment l’objet des séquences 1, 33 à 40, 71 à 75, 78. Le style est souvent percutant, parfois difficile quand la passion multiplie les incidentes au sein de longues phrases ou quand la culture philosophique avance un vocabulaire rare. Mais il y a aussi pas mal d’humour et les propos sont directs : on ne s’ennuie pas !

Voici les titres des premières séquences :

00. But : impertinence du sens.

01. Enjeu : droite versus cercle.

02. Positions : depuis la pratique mathématique.

03. Faire de la bicyclette est paradoxal.

04. Double définition de la limite.

05. Force de l’esprit et discipline : s’y mettre.

06. Le professeur est un instructeur.

07. La violence.

LES ACTIVITÉS MATHÉMATIQUES PROPOSÉES sont généralement un régal :

Croyez-vous maîtriser, avec sa définition habituelle, le concept de cercle ? René Guitart, par l’analytique, par la " pulsation angle/distance ", va prouver le contraire ! Et vous voilà entraînés vers la doublure de Cayley, la typologie de Cayley-Klein des neuf géométries planes (grâce, dans l’alternative angle/distance, aux trois options possibles - elliptique, hyperbolique, parabolique - dans chacun de ses termes)...

" De la complexité de l’idée de rond " débute avec une jolie étude de " cercle " et " cycle " à l’énoncé initial volontairement sur-interprété (et cela a valeur d’exemple !). En décryptant, on débouche sur les géométries planes euclidiennes (" i2 = -1 "), galiléenne (" i2 = 0 "), minkowskienne (" i2 = 1 "). Ne croyez surtout pas que c’est trop ardu. Le texte est limpide, les pré-requis élémentaires (niveau lycée) et l’auteur sait ménager l’intérêt ! Ainsi " la doublure de Cayley " se révèle donner les complexes à partir des réels, les quaternions à partir des complexes, les octaves de Cayley à partir des quaternions, et l’auteur interroge ; Que restera-t-il quand on aura oublié tout cela ? Eh bien, par exemple, que, quand on traitera des complexes, ils auront davantage d’épaisseur d’être ...

Les séquences 59 à 62 mettent en place un " calcul K ", " trace d’écarts et de mouvements ", conduisant à des groupes abéliens ... et à des résultats ... surprenants (0/0 = 1 ; A.1 = A.0 ; A+0 = A+1...) alors qu’il va se révéler que " le calcul ordinaire se constitue d’une brisure de symétrie du calcul K " ...

J’ai aussi beaucoup aimé l’étude conjuguée des diverses définitions d’une limite (de fonction), d’une tangente à une courbe, qui se concluent par " définir est agencer une glissade "...

Il y a bien d’autres thèmes développés : utilisation des lettres, égalités et équivalences, nombres et figures, traitement mathématique des paradoxes, pulsation entre montrer et démontrer, " pulsation de la pulsation ", fractions et proportions...

De belles méthodes sont réhabilitées, ainsi celle - de Desargues et Monge notamment - " qui considère les figures planes comme des traces ou des projections de figures spatiales " (" Il y a là une dualité pulsative importante entre l’idée de " trace sur " et l’idée de " projection sur " ") : deux problèmes sont traités " à la Monge " concurremment à d’autres méthodes.

`Chemin faisant, l’on retrouve, ou l’on apprend, d’excellents aperçus sur la multiplication des voies d’approche, leur conjugaison, la pulsation entre discursif et visuel, les mises en attente des définitions, la polysémie des termes et des notations, ..., la capacité de " ruminer ", celle de créer, ..., les "couper-coller "...

Il y a, là-dessus, de très beaux textes, soit de l’auteur, soit de mathématiciens célèbres, ainsi pour deux pages de Poincaré (que René Guitart résumera par " pulsation ") dont j’extrais ceci : " Les coupeurs de difficultés en quatre peuvent nous rendre un double service : c’est d’abord de nous apprendre à faire comme eux au besoin, mais c’est surtout de nous permettre le plus souvent possible de ne pas faire comme eux, sans pourtant rien sacrifier de la rigueur ".

SUR SON CHEMIN, RENÉ GUITART RENCONTRE DIVERS INTERVENANTS...

Il se méfie d’une épistémologie et d’une histoire des maths qui seraient " dévoyées ". Il râle contre les programmes détaillés qui ôtent toute liberté.

(Mais je retrouve chez lui, avec plaisir !, un principe énoncé dans les programmes de Collège de 1985 : l’exigible doit être moindre que ce qui, aussi riche et varié que possible, est pratiqué en classe ...).

Surtout René Guitart secoue didactique et didacticiens. Il apprécie, certes, la théorie des situations didactiques, les débats scientifiques, les champs de concepts et ceux de problèmes. Ainsi les jeux de cadres, avec " l’idée de pulsation pour ajouter deux choses :

- pouvoir envisager d’aller (" en faisant ") du cadre connu vers un cadre inconnu,

- pouvoir envisager toutes opérations à l’intérieur d’un cadre donné sans avoir à répondre d’une orthodoxie liée au cadre ".

Mais, pour quelques lignes d’approbation, sur les points cités, combien de pages de véhémentes attaques sur d’autres ! Notamment, et il s’en justifie, René Guitart ne peut pas souffrir la " transposition didactique "...

De même, les tendances supposées de l’enseignement actuel, soupçonné de relever d’une " idéologie médiocratique ", sont-elles vilipendées, d’autant que, ajoute l’auteur, " on a l’impression que l’équation conceptuel = élitiste = réactionnaire est largement acceptée et donc véhiculée par les médias.

René Guitart appelle, entre autres, à l’appui de ses thèses, un texte de Chasles qui déplore, déjà, l’abandon de l’instruction telle que la concevait la première moitié du XIXe siècle.

(Mais le retour à une " instruction " pure et dure est-il vraiment le remède aux maux actuels ?)

Pourtant, précisément, par delà les jugements accusateurs et tranchants, ce que propose René Guitart rejoint des objectifs fondamentaux de nombre de ceux qui appellent des vents nouveaux... En effet, il n’est pas de plus belle école de liberté, de responsabilité, de plaisir que celle à laquelle " La pulsation mathématique " nous convie. De quoi redire, avec Teilhard de Chardin, " Tout ce qui monte converge ! "...

Je termine en mettant en exergue une préoccupation majeure de René Guitart : " l’inséparabilité de l’algèbre et de la géométrie ". Certes, dit-il, " personne ne trouve passionnantes la géométrie ou l’algèbre tant qu’elles sont infra-élémentaires " (encore que..., en géométrie notamment, ...). " L’intérêt, et la passion, naissent de l’épreuve renouvelée de la richesse de ce qui peut, de ce que chacun, peut développer ". Pourquoi ne pas envisager, dès lors, des rénovations fondamentales où des technologies modernes seraient au service de " la pulsation mathématique " ?

En attendant, merci et bravo à René Guitart !

Henri BAREIL

 

13. Géométrie et applications. I. STRUCTURES ALGÉBRIQUES EN GÉOMÉTRIE - Collection Capes/Agrégation - par Pierre AIMÉ. Éd. Ellipses.

256 pages en 175 ¥ 260. Très bonne présentation. Index nourri de quelque 310 mots. Index de notations. No ISBN : 2-7298-7938-2. Prix : 135 F.

Dans le but d’accéder à la " Mécanique géométrique " en évitant les deux dérives " scolastique " et " empirique ", l’auteur prévoit un " Niveau 1 " de trois tomes (Structures) et un " Niveau 2 " de deux tomes (Introduction à la géométrie différentielle). Dans chaque niveau, " les applications les plus intéressantes sont présentées dans le dernier tome " (en physique pour le tome 2 du Niveau 2).

Ce tome 1 du Niveau 1 consacré aux espaces vectoriels, affines, quadratiques, à la géométrie affine euclidienne, aux morphismes d’un espace euclidien, y reconstruit les connaissances géométriques du collège et du lycée et les complète (fortement !). Un bon ouvrage pour dominer des sujets de façon " moderne ".

Henri BAREIL

 

14. Géométrie et applications. INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE - Collection Universités, MÉCANIQUE - par Pierre AIMÉ. Éd. Ellipses.

304 pages en 175 ¥ 260. Très bonne présentation. Index de notations de 3 pages et Index de quelque 310 mots. No ISBN : 2-7298-7939-0. Prix : 165 F.

Il s’agit du tome 1 du Niveau 2 présenté ci-dessus. Sur les sept chapitres, cinq proposent des " Travaux dirigés ". Ensemble solide pour des publics variés, mais plutôt de

second cycle en physique ou mécanique ou de mathématiciens pour ceux veulent élargir leur champ d’applications.

Henri BAREIL

 

15. Cours de géométrie, Agrégation de Mathématiques, par Patrice TAUVEL. Dunod, Paris 2000.

No ISBN 2-1000-4592-X, 491 p.

Les éditions Dunod et Masson ont déjà publié une bonne vingtaine d’ouvrages destinés aux candidats à l’agrégation de mathématiques et concernant soit l’écrit, soit l’oral, soit une partie du programme, sous forme de cours, d’exercices ou de recueil de thèmes.

Le présent ouvrage, dont l’auteur, professeur à l’Université de Poitiers, a déjà consacré plusieurs volumes à l’algèbre, constitue un cours traitant l’essentiel du programme de géométrie et ne suppose aucune connaissance préalable. Ce parti pris peut sembler maximaliste, mais il se justifie quand on connaît la grande variété qui règne d’une université à l’autre sur la place de la géométrie en licence et maîtrise et il a le mérite d’être clair et de faciliter la lecture systématique et méthodique de l’ouvrage. Bien entendu, ceci ne dispense pas les candidats, en particulier s’ils préparent en même temps le CAPES, de prendre une connaissance précise et détaillée des programmes et progressions des collèges et lycées.

Les 31 chapitres traitent successivement : Réseaux, Angles, Espaces affines, Espaces euclidiens, Ensembles convexes, Isométries, Similitudes, Paramétrages et équations, Divisions harmoniques, Cercles, Triangles, Propriétés affines des arcs, Propriétés métriques des arcs, Paraboles, Ellipses, Hyperboles, Coniques, Calcul différentiel, Propriétés affines des nappes, Propriétés métriques des nappes, Sous-variétés, Étude de quelques ensembles, Description des quadriques, Inversions, Espaces projectifs, Espaces affines et espaces projectifs, Droite projective, Dualité dans les espaces projectifs, Notions sur les coniques projectives, Polyèdres convexes, Fonctions convexes.

L’ouvrage se complète par une bibliographie de 19 titres, un index de notations et un index alphabétique.

Les résultats sont tous accompagnés de leur démonstration.

Cet ouvrage rendra service aux agrégatifs qui veulent avoir une vision globale de la géométrie et de ses articulations ; il ne saurait suffire ni pour faire un problème, ni pour bâtir une leçon.

Regrettons qu’il ne fasse aucune place aux nouvelles technologies de l’information qui permettent une approche plus dynamique, malgré les recommandations ministérielles de les intégrer à toutes les disciplines et qu’il n’utilise, ni ne cite par exemple les ouvrages de R. Cuppens sur l’utilisation de Cabri-Géomètre.

Paul-Louis HENNEQUIN

 

16. " THÈMES DE GÉOMÉTRIE. Groupes en situation géométrique. ", par Michel Alessandri. Collection " Agrégation de mathématiques ". Éd. Dunod (1999).

267 pages en 170 ¥ 240. Présentation dense, mais claire. Bibliographie. Index. No ISBN : 2 10 004556 3. Prix : 175 F.

L’auteur précise d’abord que " la géométrie est le maître mot du livre, elle éclaire la quasi totalité des raisonnements qu’on y rencontre ". Aussi bien " le langage et les méthodes de la géométrie sont-ils " universels " et sous-tendent-ils l’essentiel de l’édifice mathématique, ainsi que la vision du monde que nous propose la physique contemporaine. Les images de la géométrie sont " éternelles " et rendent souvent lumineux les concepts les plus abstraits " Cependant que " la géométrie, puis progressivement (toutes) les mathématiques sont devenues de grandes consommatrices de la théorie des groupes ", laquelle " est la symétrie en acte "...

Chapitre 1. Présentation générale (42 pages) : Le langage des opérations de groupes. Illustrations variées.

Chapitre 2. Le produit semi-direct (26 pages) : concepts et illustrations.

Chapitre 3. Quelques thèmes de géométrie (170 pages) :

- 1 - Le groupe modulaire PSL2(Z).

- 2 - Les sous-groupes de torsion des groupes linéaires.

- 3 - Géométrie vectorielle euclidienne.

- 4 - Introduction à la géométrie hyperbolique en dimension deux.

Passé le chapitre 1, les autres parties sont largement autonomes. Chaque thème du Chapitre 3 comporte un schéma détaillé de recherche, puis un corrigé nourri.

Sans doute excellent pour dominer, sur les points traités, des sujets d’agrégation, l’ouvrage peut, notamment en ses thèmes 3 et 4, éclairer profondément la géométrie. À ce titre, il est aussi un livre - de haut niveau - de culture.

Henri BAREIL

 

17. " INFORMATION, COMPLEXITÉ ET HASARD ", Deuxième édition (revue) - 1999 - par Jean-Paul Delahaye. Collection Langue, Raisonnement, Calcul. Éditions Hermès Science.

276 pages en 154 ¥ 234, bien présentées. Table des matières détaillée. Index nourri (environ 1000 mots). Bibliographie de 16 pages (donc sans intérêt pour le lecteur " ordinaire ", submergé). No ISBN 2-7462-0026-0.

" L’ouvrage tourne autour [de] formalisations mathématiques de concepts intuitifs et philosophiques et sur l’enrichissement mutuel extraordinaire qui en résulte pour les mathématiques et pour le philosophe ".

Schématiquement (très), disons qu’il s’intéresse :

- aux formalisations du concept d’information et des suites infinies aléatoires (..., thèses de Church et de Martin-Löf, ...),

- aux extensions des " trois classes d’idées " de J. Myhill, avec, incidemment, des définitions des " nombres normaux ", des " imprédictibles ", des " calculables (ou récursifs) ", des " aléatoires (ou incompressibles), ...,

- à l’utilisation de " la complexité de Kolmogorov " et de " la profondeur logique de Bennett " pour formaliser les deux " complexités aléatoire et d’organisation ",

- à des modèles formels pour l’induction avec retour sur la conception gödelienne des mathématiques,

- à l’importance des indécidables et... à la possibilité de s’en passer " pour des mathématiques ordinaires applicables ",

- aux liens " calculabilité et physique ",

- à la grande question : " le monde est-il récursif ? " (problème de " l’algorithmicité du monde physique "), avec six traductions mathématiques différentes, leurs rapports, et des argumentations pour " oui " et pour " non ", ...

- aux " paradoxes sémantiques " : cf. conceptions de la vérité de Tarski, Kripke, Russell, ..., Austin, ... s’efforçant de résoudre, par exemple, les célèbres paradoxes des menteurs et n’y parvenant, au mieux, que " par une restriction judicieuse, dont le sens aujourd’hui n’est pas complètement compris ".

Écrit en un style agréable, mais très technique (cf. bibliographie !), l’ouvrage s’est révélé fort ardu pour le profane que je suis. Un lecteur déjà un peu au fait devrait s’en régaler... C’est un beau travail.

Henri BAREIL

 

Sommaire du Bulletin 427