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Mathématiques L3 – analyse. Mathématiques L3 – algèbre.

Paul Louis Hennequin

- 20 mai 2011 -

Les trois volumes du L3

Les trois ouvrages recensés ci-dessous concernent la troisième année de licence du système LMD qui correspond à ce qu’était autrefois l’année de licence (et en particulier le certificat de calcul différentiel et intégral).

Remarquons que, contrairement à ce qui se passe en classe préparatoire où le professeur doit traiter rigoureusement la totalité du programme sur lequel ses élèves seront évalués par des examinateurs étrangers à la classe, à l’université les départements de mathématiques définissent des maquettes variant d’un établissement à l’autre et dont les enseignants ont la liberté de ne traiter qu’une partie puisque ce sont eux qui évaluent leurs étudiants.

Ainsi ces trois volumes réunissent-ils tous les concepts et notions figurant à titre obligatoire ou optionnel en L3 et non tout ce qu’un étudiant doit apprendre en une année.

Les candidats au capes et à l’agrégation choisiront dans les trois volumes ce qui figure précisément au programme du concours, et trouveront de chapitre en chapitre et au fil des exercices, de quoi illustrer et enrichir leurs exposés à l’oral.

Dans l’avant-propos, les auteurs des trois ouvrages précisent qu’ils ont conservé la ligne générale des deux tomes L1 et L2 recensés ci-dessus pour la présentation des idées : notions fondamentales formant le noyau et développées en profondeur, compléments aidant à saisir la portée des outils et l’importance des idées. De plus, chaque volume conserve la même structure que les précédents : Présentation dans un cours des outils fondamentaux assortis d’un grand nombre d’exemples concrets et ponctués d’encadrés (« Rappel  », « Attention », « Méthode » et « Synthèse ») et de questions tests permettant au lecteur de se situer.
À la fin de chaque chapitre une liste d’exercices dont la difficulté est graduée par des étoiles, puis en dernière partie les solutions détaillées des tests et exercices et un index très complet.
Tout au long du texte, on trouve de brefs commentaires historiques parfois agrémentés de portraits dont la qualité n’est pas comparable à celle particulièrement soignée de la typographie en deux couleurs du volume.et des figures du plan ou de l’espace.

Mathématiques L3 – analyse, Cours complet avec 600 tests et exercices corrigés,

par Hakim Boumaza, Benjamin Collas, Stéphane Collion, Marie Dellinger, Zoé Faget, Laurent Lazzarinii, Florent Schaffhauser, sous la direction de : Jean- Pierre Marco.

PEARSON Education, juin 2009.
932 p. en 19 x 24, Prix : 49€.
ISBN : 978-2-7440-7350-2.

Ce volume comporte 7 parties structurées en 39 chapitres :

  • I. Topologie (Espaces topologiques, compacts, connexes, métriques, complets, vectoriels normés, de fonctions continues).
  • II. Intégration et théorie de la mesure (Intégrale de Riemann, mesure de Lebesgue, théorie géométrique de la mesure, intégrale de Lebesgue, calcul intégral, espaces $L^p$).
  • III. Applications linéaires en dimension infinie (Théorème de Hahn-Banach, théorème de Baire, espaces de Hilbert, opérateurs bornés, spectre des opérateurs bornés).
  • IV. Fonctions d’une variable complexe (Fonctions analytiques, fonctions holomorphes et théorie de Cauchy, propriétés fondamentales des fonctions holomorphes, théorie de Cauchy homotopique, singularités des fonctions holomorphes, théorème des résidus, espaces de fonctions holomorphes et méromorphes).
  • V. Analyse de Fourier (Analyse fonctionnelle sur le tore, fonctions périodiques, convolution ; analyse et synthèse spectrales sur le tore ; analyse de Fourier sur la droite réelle, dans $L^{1}(R)$ et $L^{2}(R)$.
  • VI. Calcul différentiel (La différentielle, théorème des accroissements finis, différentielles d’ordre supérieur, théorèmes d’inversion locale, des fonctions implicites et du rang, problèmes d’extrema, la notion de sous-variété).
  • VII. Équations différentielles (Les solutions d’une équation différentielle, exemples explicites et études qualitatives, flot d’un champ de vecteurs, étude locale d’un champ de vecteurs).

Mathématiques L3 – algèbre, Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés,

par François Arnault, Gilles Bailly- Maître, Yves Benjamin, Philippe du Bois, Lionel Ducos, Aurélien Galateau, Henri Lombardi, Cécile Poirier, Claude Quitté, Maxime Rebout, Matthieu Romagny, Julien Roques, sous la direction de : Aviva Szpirglas.

PEARSON Education, août 2009.
838 p. en 19 x 24, Prix : 49€.
ISBN : 978-2-7440-7351-9.

L’ouvrage reprend et développe des notions abordées dans les volumes L1 et L2. Il s’adresse à des étudiants déjà orientés vers les mathématiques et leur permet d’asseoir leurs connaissances de base sur les structures algébriques, quelles que soient les options professionnelles qu’ils prendront par la suite.
Il comporte cinq parties :

  • I. Ensembles, cardinalité (Ensembles ; axiomes, cardinaux ; axiome du choix, Zorn ; Zermelo, ordinaux) [revient sur L1 chap. 7].
  • II. Plus d’algèbre et de géométrie (Algèbre bilinéaire, Géométrie affine, Géométrie projective) [revient sur L2].
  • III. Groupes (groupes quotients, actions de groupes, produits de groupes, groupes abéliens, groupe symétrique, sous-groupes de Sylow ; groupes et algèbre linéaire ; groupes et géométrie, isométries, polytopes réguliers).
  • IV. Anneaux et modules (Idéaux, anneaux nœtheriens, arithmétique ; polynômes à une ou plusieurs indéterminées, fractions rationnelles  ; modules ).
  • V. Éléments de théorie des corps (Extensions, constructions à la règle et au compas, groupe de Galois ; corps finis, théorème de Wedderburn).

Ces cinq parties sont suivies des solutions des tests, des solutions des exercices, d’une bibliographie recensant les traités classiques, d’un index général et d’un index des notations.

Mathématiques appliquées L3, Cours complet avec 500 tests et exercices corrigés,

par Rémi Abgrall, Sophie Abgrall, Didier Aussel, Jean-Pierre Dedieu, Robert Deville, Charles Dossal, Jean-Charles Faugère, Patrick Fisher, Philippe Gaborit, Khodor Khadra, Alain-Yves Le Roux, Pierre Maréchal, Pierre Pesneau, Mohab Safey El Din, Philippe Thieullen, Jacques Arthur Weil, Alain Yger, sous la direction de : Alain Yger et Jacques-Arthur Weil.

PEARSON Education, août 2009.
890 p. en 19 x 24, Prix : 49 €.
ISBN : 978-2-7440-7352-6.

L’ouvrage comporte cinq parties :

  • I. Analyse numérique. Algèbre linéaire et calcul scientifique : résolution des systèmes linéaires, méthodes directes et itératives, calcul de vecteurs et valeurs propres ; interpolation et approximation : approximation hilbertienne, uniforme, des racines d’équations et de systèmes ; résolution numérique des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles : méthodes d’Euler, à un pas, multiples, éléments finis pour les problèmes elliptiques, problèmes paraboliques et hyperboliques).
  • II. Algorithmique et programmation. Algorithmique : Tris, gestion dynamique de la mémoire ; programmation en Fortran 90 pour le calcul scientifique : types, tableaux, fichiers, procédures, gestion dynamique des pointeurs.
  • III Algèbre appliquée. De l’algèbre linéaire à la résolution des systèmes polynomiaux : projection et élimination, résultant, bases de Gröbner, systèmes de dimension zéro ; introduction à la théorie algébrique des codes correcteurs d’erreurs : corps finis, codes cycliques et BCH, codes de Reed -Solomon ; introduction à la cryptographie : transpositions et substitutions, clé secrète, clé publique RSA, hachage, signature.
  • IV. Analyse et mathématiques appliquées. Optimisation sans contrainte, avec contraintes, linéaire ; Analyse harmonique appliquée, signaux et images, analyses temps-échelle et temps-fréquences. Trois compléments : médecine nucléaire, images et familles géométriques, turbulence bidimensionnelle.
  • V. Probabilités et statistique. Probabilités : Variables aléatoires, indépendance, schéma de Bernoulli, processus de Poisson, théorèmes limites, fonctions caractéristiques, théorème limite central, chaines de Markov, temps d’arrêt, matrices stochastiques, régression, espérance conditionnelle, martingales, inégalités de Doob ; Statistique : descriptive, différentielle, tests, estimateurs, théorie de Neyman-Pearson.

En annexe : prise en main d’un logiciel de calcul scientifique et d’un logiciel de calcul formel et, ce qui est plus discutable aujourd’hui, 12 tables statistiques classiques.

Le livre est accompagné d’un DVD-ROM contenant les codes (rédigés en FORTRAN 90 ou sous MAPLE, MATLAB ou Scilab, pour lesquels une prise en main est proposée et le matériel destiné à faire des exercices.

Par contre l’ouvrage ne contient ni bibliographie ni index des notations.