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Mathématiques MPSI-PCSI.

Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés.

Marc Roux

- 25 janvier 2010 -

Mathématiques MPSI-PCSI. Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés.
Ouvrage collectif sous la direction de Gérard Debeaumarché, Francis Dorra et Max Hochart.

Pearson Education, 2009-10-10.

Un volume de 1104 pages en 18,5 × 23, accompagné d’un DVD-ROM.

ISBN : 978-2-7353-3.

Le livre est composé de 26 chapitres répartis en 6 parties :
- 1. Première période (250 pages) : Notions préliminaires ; Nombres complexes ;Fonctions usuelles ; Équations différentielles linéaires ; Géométrie plane ; Géométrie dans l’espace ; Arcs paramétrés ; Coniques. Cette partie, conformément au programme, contient pour l’essentiel des connaissances qui ont été à une période ou une autre au programme de terminale S ou C.
- 2. Analyse (230 pages) : Suites de nombres ; Limites, continuité ; Dérivabilité ; Intégration ; Intégrales et primitives ; Formules de Taylor et développements limités ; Propriétés métriques des arcs paramétrés.
- 3. Fonctions de deux variables (70 pages) : Fonctions de deux variables ; Intégrales doubles et champs de vecteurs.
- 4. Structures algébriques (100 pages) : Groupes ; Anneau et arithmétique ; Polynômes.
- 5. Algèbre linéaire (130 pages) : Espaces vectoriels ; Algèbre linéaire en dimension finie ; Matrices ; Déterminants.
- 6. Géométrie affine et euclidienne (70 pages) : Géométrie euclidienne ; Géométrie affine euclidienne.

S’y ajoutent : Solution des tests (40 pages) ; Solution des colles (30 pages) ; Solution des exercices (80 pages) ; Solution des problèmes (60 pages) ; Index (7 pages).

Chaque chapitre comporte : Une introduction (idées générales, présentation historique)  ; le cours, émaillé d’exemples, de tests, d’encadrés « méthode », d’encadrés « attention », d’encadrés « Algorithmique et calcul formel » ; « l’essentiel du cours », en une à deux pages ; 3 sujets de « colles » ; de 5 à 20 exercices ; de 0 à 2 problème(s).

Le DVD contient :
- une version d’évaluation de Maple 13 et de Mathematica 7 ;
- une promotion spéciale étudiant pour ces logiciels (seuls langages de programmation utilisés dans les classes concernées) ;
- 8 rubriques : Notions fondamentales ; Structures algébriques, arithmétique ; Algèbre linéaire et géométrie euclidienne ; Fonctions usuelles ; Intégration ; Équations différentielles ; Géométrie affine du plan et de l’espace ; Calcul différentiel, géométrie des courbes et des surfaces.
Dans chacune de ces sections, on trouve des descriptions de commandes, des exemples de calcul formel ; éventuellement, les programmes correspondant aux exemples du cours, aux tests, exercices, problèmes ; un problème ou un TD de programmation ; ceci toujours sous quatre formes : fichier Maple, fichier Mathematica, et la reproduction de chacun en PDF.

Les points forts de ce travail sont :
- dans le cours, un souci pédagogique permanent  : exposé des idées générales au début de chaque chapitre ; conseils de méthode, signalement des risques de confusion et d’erreur ; explications visant à donner du sens, à construire des images mentales  ; prise en compte des savoirs antérieurs (et des ignorances) des néo-bacheliers  ; grand nombre d’exemples ; applications à la physique ; présence de résumés de chaque chapitre ;
- la présence des tests, dans le cours, qui permet de détecter une mauvaise compréhension avant d’aller plus loin ;
- la rigueur et la clarté des démonstrations, de la structure du livre ;
- le sérieux de la réalisation : coquilles rarissimes ;
- le souci culturel : aperçus historiques, évocation de notions classiques hors programme  ;
- le rassemblement, dans le premier chapitre, de notions de logique et de méthodes de raisonnement ;
- l’importance accordée aux logiciels de calcul formel et à l’algorithmique (certaines démonstrations sont données sous forme d’algorithme) ;
- la bonne adéquation des énoncés d’exercices et problèmes au niveau des étudiants ; leur choix, qui combine originalité et présence des « grands classiques », et inclut des extraits de sujets de concours ;
- la présence (rare, il est vrai) de questions plus ou moins « ouvertes », à rédiger, du genre « Comment montreriez-vous que … ? » .

Quelques remarques qui peuvent être considérées comme positives ou négatives :
- il y a quelques dépassements de programme, par exemple : matrice jacobienne, endomorphisme nilpotent, …
- le cours n’est pas linéaire, certaines démonstrations renvoient à un chapitre ultérieur (sans qu’il y ait cercle vicieux !) ;
- le découpage en chapitres n’est pas identique à celui du programme ;
- certaines démonstrations sont « laissées au lecteur ».

Les quelques réserves que l’on peut faire :
- dans certains chapitres, les exercices ne sont pas très nombreux ;
- les corrigés sont « secs », arides ; on n’y trouve pas de commentaires pédagogiques comme dans le cours ; et trop rarement on propose deux méthodes ;
- les exercices du type observation-conjecture- démonstration sont rarissimes ;
- les renvois, d’un chapitre vers un autre, du livre vers le DVD ou du DVD vers le livre, sont souvent imprécis (pas de numéro de page et de paragraphe) ;
- les parties hors programme de PCSI ne sont pas toujours clairement signalées ;
- le choix éditorial d’un seul volume en fait un objet lourd et encombrant.

En conclusion : un fort bon manuel, riche et efficace, à conseiller vivement aux étudiants de classes préparatoires, à leurs enseignants, ainsi qu’à ceux qui préparent le CAPES, voire l’agrégation.

Marc ROUX