DGESCO février 2012

62 pages en 21 × 29,7

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Objectifs

D’entrée les auteurs précisent dans la page d’introduction leurs objectifs, en utilisant cinq fois le mot problème.

Le programme de l’enseignement de spécialité de la terminale scientifique réintroduit l’algèbre linéaire au lycée. Mais l’algèbre linéaire des années 1980 s’appuyait sur les vecteurs du plan et de l’espace. L’entrée proposée aujourd’hui est matricielle : il s’agit de faire jouer un rôle à des tableaux de nombres, lorsqu’ils sont particulièrement adaptés à l’écriture et à la résolution de certains problèmes.

La première partie présente donc des problèmes où l’introduction des matrices simplifie lecture et écriture. une mise en ordre est proposée dans la seconde partie, où définitions et théorèmes bien rédigés sont indispensables. Les professeurs sont invités à ne pas démarrer directement par la présentation des contenus théoriques, mais à introduire les notions dans le cadre de problèmes à résoudre. La troisième partie développe plus complètement certains thèmes mentionnés comme exemples dans le programme et ouvre des perspectives sur d’autres sujets. notamment en arithmétique : des liens vers des ressources sont proposés ; il s’agit de calculs trop éloignés du problème traité. on doit pouvoir insister le temps qu’il faut sur les calculs dont la maîtrise est un réel objectif, quitte à s’en remettre pour les autres aux outils existants pour pouvoir concentrer l’attention des élèves sur le problème à résoudre.

Plan de l’ouvrage

• I. Quelques problèmes faisant apparaître des matrices.
  • A. un problème à deux compartiments
    commentaires et autres façons de l’écrire.
  • B. Étude, gestion et prévision économiques
    indice de prix, admissions et sorties dans un hôpital.
  • C. Le modèle d’urnes de T. & P. Ehrenfest.
  • D. Représentation d’un graphe ; matrice d’adjacence ; connexité.
  • E. Marches aléatoires
    sur un segment, un tétraèdre.
  • F. Pertinence d’une page web
    de la recherche dans une bibliothèque à la recherche dans un graphe ; pertinence et probabilités.
  • G. Traitement de l’image
    numériser des images, imager les nombres ; des matrices pour réaliser des transformations.
• II. Définitions et premiers calculs avec des matrices.
  • A. opérations sur les matrices
    addition, produit par un scalaire, produits.
  • B. Les matrices sont-elles inversibles ?
  • C. Puissances de matrices carrées d’ordre 2 ou 3
    cas particuliers, diagonalisation.
  • D. Traitement matriciel des suites de Fibonacci.
  • E. Retour sur les marches aléatoires.
• III. L’outil matrices à l’oeuvre : compléments et exemples.
  • A Matrices en arithmétique
    cryptographie ; approximation des nombres réels.
  • B. Matrices et probabilités
    fougère de Barnsley, triangles rectangles pseudo-isocèles, points à coordonnées entières sur une hyperbole, le collectionneur, les urnes d’Ehrenfest.
  • C. Suites liées par une relation non linéaire
    discrétisation, recherche d’un équilibre, linéarisation autour du point d’équilibre, modèle perturbé.
• IV. Annexe : utiliser Scilab pour numériser des images.
  • A. Les matrices : écriture, opérations.
  • B. Les couleurs ; codage et affichage.
  • C. Les transformations.
  • D. Les codes Scilab.

Quelques questions et remarques

Nous avons relevé quelques coquilles, et rassemblé quelques réflexions suscitées par une double lecture attentive que nous transmettons aux auteurs en vue d’une nouvelle édition.

Voici quelques exemples de ces remarques :

• Page 5, ligne 6 : comment est définie la puissance n-ième d’une matrice, alors qu’on n’a pas défini le produit de deux matrices ?
• Page 9 : les coordonnées de X’ ne sont pas entières ; il ne s’agit donc pas du nombre de malades.
• Page 30 : Puisqu’on s’adresse au prof et pas directement à l’élève, pourquoi, au lieu de parler d’« un cadre assez confortable », n’utilise t-on pas le mot « anneau » ?
• Page 32 : Multiplication par blocs, diagonalisation sont hors programme du secondaire ; si c’est pour la culture du professeur, pourquoi ne pas donner la définition générale et se borner à l’ordre 2 ?
• Page 41 : la transformation de \(x^{2} - 2 = 0 \) en x = (x + 2)/(x + 1) n’a rien de naturel ; comment l’a-t-on trouvée ? et dans quel but, guidé par quelle idée ? Si on le dit, on peut peut-être guider les élèves pour qu’ils la découvrent ; sinon, leur tâche se bornera à la vérifier, et ce n’est pas très motivant !
• Page 48 (avant-dernière ligne) : Il faut préciser ce qu’on entend par longueur du parcours : la longueur de la trajectoire est 101, la durée du parcours est aléatoire ; la variable p n’intervient pas dans la suite.
• Page 48-50 : Quel est le sens de manipuler des nombres de 14 chiffres pour calculer des probabilités, sauf bien sûr si elles sont très voisines de 1 ou de 0 !
• Page 56 : « on peut alors vérifier que le système (S1) équivaut au système... » : est-ce un exemple de ce qu’on peut demander aux élèves ? si oui, la question sera-t-elle « démontrer que… » ou bien « trouver une expression de \(U_{n+1}\) et \( V{n+1}\) en fonction de \(U_n\) et \(V_n \) » ?

Conclusion

Ce document qui offre des ressources très variées éclairant quelques lignes de programme, présente des qualités remarquables : il modélise des situations concrètes riches et variées mariant algèbre et probabilités. Il explicite et fait agir des algorithmes de calcul jusqu’au résultat cherché Il rendra donc de grands services aux enseignants qui s’approprieront l’étude d’une situation et chercheront diverses solutions à un problème. Il recoupe d’ailleurs largement le dossier du BV 501.

Cependant, malgré la première phrase, « un enseignement qui prend appui sur la résolution de problèmes », les exemples ne sont pas donnés sous forme de problèmes, mais d’exposés, souvent clairs, mais parfois bizarrement construits ; le travail de transposition : mise à la portée des élèves, problématisation, répartition des tâches entre professeur et élève, est laissé à l’enseignant ; et il n’est pas mince. on peut être dubitatif sur ce que les élèves (via leurs enseignants) en retireront ; autrefois il fallait attendre l’université (licence ou maîtrise) pour dominer toutes ces techniques de calcul qu’on trouvait par exemple dans le traité de W. Feller Introduction to probability theory I et II, Wiley 1968 ou dans le livre d’A. Engel L’enseignement des probabilités et de la statistique Cedic 1978.

Le niveau est globalement bien trop élevé ; ces problèmes, même pré-digérés par le prof, sont accessibles au mieux à ceux des élèves qui vont entrer en prépa. Il n’est donc pas question pour l’enseignant de présenter tels quels les situations, les modèles et les calculs auxquels ils conduisent mais d’utiliser le document et toute sa richesse pour rebâtir un exposé à la portée de la classe, ouvert à la discussion et prévoyant les questions des élèves.