Modèles aléatoires et physique probabiliste
par Franck Jedrzejewski.

Springer juillet 2009.

572 pages en 15,5 × 23,5, 65 €.

ISBN 978-2-287-99307-7.

Partant des débuts du calcul des probabilités, ce traité présente à la fois les outils théoriques, les méthodes pratiques et les modèles qu’ont développés les probabilistes depuis la seconde moitié du XXe siècle en particulier à la demande des physiciens  ; qu’on juge de leur variété :
 1. Hasard et contingences (Modélisation, axiomatisation de Kolmogorov).
 2. Variables aléatoires (Fonction caractéristique, Vecteurs gaussiens, Espérance conditionnelle).
 3. Martingales (Temps d’arrêt, Décomposition, Inégalités et Convergences).
 4. Chaines de Markov (Transience et récurrence, Marches aléatoires, Théorie du potentiel).
 5. Entropie et applications ergodiques (Systèmes dynamiques, Grandes déviations, Information et entropie).
 6. Thermodynamique statistique (Gaz parfait, fermions et bosons, corps noir).
 7. Phénomènes critiques (Transitions de phase, exposants critiques, modèles d’Ising, renormalisation, verres de spin, percolation).
 8. Simulation et algorithmes stochastiques (Monte-Carlo, transport de particules, optimisation stochastique).
 9. Processus aléatoires (de Markov, ponctuels, de Poisson, de Lévy, du second ordre).
 10. Files d’attente (G/G/1, G/M/1, M/G/1, M/M/s).
 11. Mouvement brownien (Régularité des trajectoires, propriété de Markov, M.B. fractionnaire).
 12. Intégrale stochastique (Intégrale et formule d’Itô, Théorème de Girsanov).
 13. Équations différentielles stochastiques (Équation de Langevin, processus de diffusion, bruit blanc, Feynman-Kac, Focker- Planck).
 14. Schémas numériques et stabilité (Euler, Milstein, Heun, Runge-Kutta, Platen, exposants de Liapounov).
 15. Équations aux dérivées partielles (Elliptiques, paraboliques, de Korteweg-de Vries, de Burgers).
 16. Vibrations aléatoires (Oscillateur harmonique, analyse modale, moyennisation stochastique).
 17. Prédiction et filtrage (Kalman-Bucy, processus ARMA).
 18. Calcul de Malliavin (Chaos de Wiener, produits de Wick, dérivée de Malliavin, intégrale de Skorohod).
 19. Probabilités quantiques (Entropies quantiques, C*-algèbres, algèbres de Von- Neumann, Espaces de Fock, calcul stochastique quantique, équation de Caldeira- Legget).
 20. Probabilités libres (Liberté et indépendance, transformée de Cauchy, convolution libre, lois indéfiniment divisibles et lois stables, formule d’Itô libre).
 21. Matrices aléatoires (Ensembles gaussiens, fonction $\zeta$ de Riemann, comportement des valeurs propres, gaz de Coulomb, intégrales matricielles).

L’annexe A donne les résultats fondamentaux de la théorie de la mesure et de l’intégration ;
L’annexe B présente la solution détaillée de la centaine d’exercices proposés à la fin des chapitres.

La bibliographie comporte 344 titres, en anglais ou en français, qui de 1950 à nos jours ont marqué les étapes de notre discipline et de son enseignement.

Enfin un index de plus de 400 items permet de retrouver facilement une définition ou l’auteur d’un concept ou d’un théorème.

Chaque chapitre est introduit par un paragraphe qui précise sa place dans l’ouvrage et son fil directeur.

L’ouvrage est d’abord destiné aux étudiants d’un master de mathématiques qui veulent acquérir en deux ans le bagage nécessaire aujourd’hui à un chercheur ou un ingénieur, mathématicien ou physicien, en calcul des probabilités, mais aussi aux candidats à l’agrégation pour préparer l’épreuve de modélisation. La lecture approfondie de certains chapitres sera utile à des étudiants de licence.

Bien entendu il passionnera tous les collègues curieux de savoir où en est aujourd’hui une discipline qu’ils ont peut-être ignorée dans leurs études ou qui souhaitent dialoguer avec un physicien.

La clarté de l’ouvrage, la solidité de sa construction, la richesse du panorama visité apporteront au lecteur un grand plaisir ; remercions-en l’auteur.

Paul-Louis HENNEQUIN