Nantes : sujet 3

THÈMES : DENOMBREMENTS, GEOMETRIE PLANE, STATISTIQUES, POURCENTAGES

(séries autres que S et SI)

ÉNONCÉ

A-polygones réguliers étoilés

Dans tout cet exercice, on considère un cercle (C) de rayon 5 cm et on note A un point de ce cercle.

Soit n un entier naturel tel que n > 5.

En partant de A, on partage ce cercle en n arcs de longueurs égales. Ces arcs sont délimités par n points régulièrement répartis (dont fait partie A), qui décrivent un polygone régulier. Parmi les polygones qu’on peut former à l’aide de ces n points le polygone convexe, est le seul dont les côtés ne se coupent pas. Les autres sont dits « croisés ».

On considère dans toute la suite de l’exercice un polygone croisé formé sur ces n points. On parcourt chacun de ses côtés dans le sens trigonométrique en partant de A. Le passage de chaque sommet au sommet suivant parcourt un certain nombre d’arcs. Dans cet exercice, on s’intéresse au cas où le nombre d’arcs parcourus est le même pour chaque côté, noté p. Un tel polygone est appelé A-polygone régulier étoilé à n banches d’indice p et noté P(n ; p).

Ainsi, il existe seulement deux A-polygones réguliers étoilés à 7 branches :

1. Combien y a-t-il de A-polygones réguliers étoilés à 5 branches ? Expliquer soigneusement la réponse. Le(s) tracer avec des instruments de géométrie adaptés.

2. Existe-t-il des A-polygones réguliers étoilés à 6 branches ?

3. Déterminer le nombre de A-polygones réguliers étoilés à 8 branches, à 33 branches, à 41 branches.

4. On suppose que n est un nombre premier et on appelle E(n) l’ensemble des A-polygones réguliers étoilés à n branches. Quelle est la probabilité qu’un polygone choisi au hasard dans E(n) ait un indice pair ?

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