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Nombres complexes, polynômes et fractions rationnelles.

Paul Louis Hennequin

- 14 décembre 2011 -

par Jean-Jacques Colin et Jean-Marie Morvan.

Cépaduès, août 2011.

144 p. en 14,5 X20,5.

ISBN 978 2 85428 975 6.

Prix : 17€.

Vingtième volume de la collection Bien débuter en mathématiques que nous recensons régulièrement depuis plusieurs années, celui-ci s’adresse aux étudiants de première année de l’université ou des classes préparatoires et fait une large place aux exercices et à leur solution détaillée.

Suivant son titre, il comporte deux gros chapitres et un troisième beaucoup plus réduit sur la décomposition en éléments simples pour laquelle il existe maintenant des logiciels de calcul formel.

  • I. Nombres complexes
    - Définitions
    - Conjugué
    - Module
    - Racines carrées et équation du second degré
    - Argument
    - Notation exponentielle
    - Racines n-ièmes
    - Représentation géométrique
    - 39 exercices
  • II. Polynômes
    - Définitions et propriétés générales
    - Retour à la notation habituelle
    - Fonctions polynomiales
    - Divisibilité, division euclidienne
    - Ppcm, pgcd, algorithme d’Euclide,
    - Polynômes premiers entre eux -Polynômes irréductibles
    - Dérivation des polynômes
    - Zéros multiples, polynômes scindés
    - Relations entre coefficients et zéros
    - Formule de Taylor
    - Polynômes de C[x]
    - Polynômes de R[x]
    - 40 exercices
  • III. Fractions rationnelles
    - Définitions et propriétés générales
    - Dérivation des fractions rationnelles
    - Fonctions rationnelles
    - Décomposition en éléments simples
    - 8 exercices

un index liste les termes utilisés et cite quelques mathématiciens qui ont laissé leur nom à un théorème, une formule ou une identité.
Ceux-ci font l’objet de courtes notes biographiques dans le cours du texte. On s’étonnera de ne pas y trouver Abel, Argand, Bombelli, Cardan, Cauchy, Galois, Hermite, Hörner, Jacobi, Laguerre, Legendre, Tartaglia, Tchebychev, et bien d’autres.
Il est vrai que les polynômes orthogonaux et les transformations intégrales font l’objet d’un volume de la collection Pratiques mathématiques, mais la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle suppose la maîtrise du calcul effectif des racines du dénominateur et celui-ci n’est pas abordé.

Signalons quelques coquilles gênantes dans la solution de l’exercice 72 et l’énoncé du théorème 9.

Les exercices sont de difficulté croissante et leur solution comporte souvent beaucoup de calculs où le lecteur est guidé pas à pas sans une grande marge d’initiative. Il serait intéressant d’étudier à la fois la puissance et les limites de l’utilisation d’un logiciel pour les effectuer.

Sur un sujet bien classique et abondamment exploré, cet ouvrage n’apporte pas de grandes nouveautés, mais il permettra au débutant d’acquérir les connaissances de base indispensables à ses études.

(Article mis en ligne par Christiane Zehren)