Petit complément sur les tirages dans une urne

Paul Louis Hennequin

Dans son article « Petit essai sur les tirages dans une urne » paru dans le Bulletin n° 443, p. 704, Yves Haubry établit que, si l’on effectue N tirages dans une urne contenant initialement b boules blanches et n noires, la moyenne du nombre $X_N$ de boules blanches tirées est $\frac{Nb}{b+n}$ , que les N tirages soient effectués avec ou sans remise.

En fait, il s’agit de deux cas particuliers de la situation suivante introduite par Georges Polya en 1923 : on part d’une urne contenant b blanches et n noires et l’on effectue N tirages en remettant dans l’urne, outre la houle tirée, c boules de la même couleur, où c est un entier supérieur ou égal à − 1. Pour c > 0, cette situation sert à modéliser des processus de contagion ou d’apprentissage ; le cas c = 0 correspond aux tirages avec remise, le cas c = − 1 aux tirages sans remise.

Je dis qu’on a toujours : $E(X_N)= \frac{Nb}{b+n}$, pour tout N et ceci quel que soit c.

Le résultat est évident pour N = 1 ; nous allons le démontrer par récurrence sur N, suivant une technique introduite au XVIIe siècle par Blaise Pascal pour résoudre le problème des partis et développée par Kolmogorov vers 1930 pour l’étude des chaînes de Markov. Le calcul repose sur une formule suivante démontrée en annexe.

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)