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Probabilités et statistiques pour l’épreuve de modélisation à l’agrégation de mathématiques.

Paul Louis Hennequin

- 31 mai 2017 -

Par Marie-Line Chabanol et Jean-Jacques Ruch.

Ellipses, septembre 2016.

360 pages en 19 x 24.

ISBN 9782340013063.

Le programme et l’esprit de cette épreuve orale se veulent moins traditionnels et scolaires que les classiques «  leçons » et permettent d’évaluer les aptitudes du candidat à choisir un modèle et à l’utiliser pour répondre à des questions concrètes ; lors de l’épreuve, le candidat doit choisir entre deux textes de six pages environ présentant un problème issu d’un domaine extérieur aux mathématiques ; la modélisation proposée fait appel aux probabilités et aux statistiques.

Le candidat dispose de 4 heures de préparation sur le texte, pour laquelle il peut utiliser une importante bibliothèque et un ordinateur non relié à internet avec des logiciels usuels.

Il doit ensuite présenter son travail au jury en 40 minutes puis répondre à des questions durant une vingtaine de minutes.

L’ouvrage est divisé en quatre parties.
La première présente en 15 chapitres agrémentés d’exercices consistants (10 de probabilités et 5 de statistique), un cours de niveau Licence 3 et parfois master 1 ou 2 (Introduction. Variables aléatoires. Espérance. Convergence de variables aléatoires. Espérance conditionnelle. Martingales et temps d’arrêts. Chaines de Markov. Processus de Poisson, Vecteurs gaussiens. Généralités sur les tests. Répartition empirique et tests. Tests paramétriques. Test du chi-deux. Régression linéaire)
La seconde partie présente quatre textes concernant probabilités et statistiques que les auteurs pensent dans l’esprit du concours mais dont ils n’ont pas souhaité donner de corrigé-type parce qu’une solution exhaustive serait beaucoup trop longue pour être donnée en 4 heures et présentée en 40 minutes et que le jury attend du candidat qu’il fasse et justifie des choix parmi les pistes de l’énoncé.
Ces quatre textes concernent les processus de branchement et l’évolution d’une population ; un processus de décision : quand s’arrêter ? ; le choix dans un arbre ; la régression saisonnière. Cette partie est la plus originale de l’ouvrage qui mériterait d’être enrichi de nouveaux textes dès leur parution.
D’autres exemples figurent sur le site de l’agrégation ; les candidats sont invités à lire soigneusement le rapport du jury pour mieux connaître ses exigences
La troisième réunit 13 fiches de travaux pratiques donnant des exemples de simulation des processus rencontrés dans le cours
La quatrième rassemble deux appendices, la première sur la simulation des variables aléatoires et la seconde sur le contexte d’apparition des lois classiques dans les modèles. Je suis très réservé sur la présentation à des agrégatifs du premier paragraphe de la première qui devrait constituer une pierre d’angle de tout l’édifice. Que signifie « ce générateur n’est que pseudo-aléatoire au sens où il est construit sur un algorithme déterministe, mais il est parfait »  ?…

Je pense que le lecteur mathématicien souhaiterait trouver dans le livre ou dans des références récentes la réponse à deux questions  :
- Quel est l’algorithme de calcul de rand(1) dans Scilab ?
- Comment construire une suite de variables aléatoires indépendantes ? La réponse faisant intervenir le concept de « complexité  » d’une suite montre que cette complexité doit être du même ordre de grandeur que l’algorithme qui construit la suite, de sorte qu’il faut faire un compromis entre complexité et temps de calcul, et ne pas pousser l’algorithme jusqu’à l’apparition d’une suite périodique.

Une fois ces point élucidés, ce livre rendra de grands services aux agrégatifs, et aux étudiants de maîtrise mais aussi aux professeurs qui n’ont pas eu l’occasion de fréquenter le calcul des probabilités durant leur formation initiale et qui veulent s’y initier et comprendre le rôle majeur qu’il joue aujourd’hui dans la simulation de multiples situations.