En feuilletant les anciens bulletins de notre association, on trouve des sujets
d’exercices et de problèmes. Nous publierons dans chaque Bulletin Vert des exemples
de ces exercices d’antan.

Envoyez vos propositions de solutions à frechetm.apmep@wanadoo.fr. Les
meilleurs seront publiées.

Bacc. Math. – Lyon, Octobre 1920 :

1. Soit un cercle O et un de ses diamètres, BC. On prend un point M de la
circonférence du cercle O et, du point M comme centre, on trace la circonférence
tangente à BC ; des points B et C on mène les tangentes à cette circonférence de
centre M. Démontrer que ces deux tangentes sont parallèles.

2. On suppose maintenant que BC est une corde et non plus un diamètre du cercle O
et l’on effectue la même construction. Les tangentes issues de B et C au cercle M
se coupent alors en un point A. Trouver les lieux du point A quand M parcourt
sur la circonférence O chacun des deux arcs sous-tendus par la corde BC.

Solutions, Problèmes d’antan n° 1, BV n°476

Énoncé exercice n° 2

Soit un triangle isocèle ABC (AB = BC). Construire le foyer F de la parabole
tangente en A et B aux côtés AC et BC. Lieu du point I, projection du foyer F sur
AC, et enveloppe de la droite FI quand A et B restant fixes, le sommet C du triangle
isocèle se déplace.

Solution

Rappels

La parabole est le lieu géométrique des points du plan équidistants d’un point
fixe F et d’une droite fixe D.

F est le foyer de la parabole.

D est la directrice de la parabole.

La droite passant par F et orthogonale à la directrice est appelé axe (de symétrie)
de la parabole.
La parabole est donc le lieu des centres de cercles tangents à D et passant par F.