Agrégation des sciences mathématiques des jeunes filles 1926

Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures)

 

On considère quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ d’une circonférence de centre $O$.

 

1. Comparer au quadrilatère $ABCD$ le quadrilatère dont les sommets sont les points de rencontre des hauteurs des triangles $BCD$, $CDA$, $DAB$ et $ABC$.

 

2. Démontrer que les projections orthogonales du point $A$ sur les côtés du triangles $BCD$ sont sur une droite $(a)$ ; et que cette droite $(a)$ est parallèle à la droite joignant $B$ au second point où la perpendiculaire menée de $A$ à $CD$ coupe la circonférence $O$.

 

Démontrer en outre que la droite $(a)$ et les droites analogues $(b)$, $(c)$ et $(d)$ passant par les projections de $B$, $C$ et $D$ sur les côtés des triangles $CDA$, $DAB$ et $ABC$ sont concourantes.

 

Comparer le faisceau $(a)$, $(b)$, $(c)$ et $(d)$ au faiseau $OA$, $OB$, $OC$ et $OD$.

 

3. Étudier la figure formée par les centres des seize circonférences tangentes aux côtés de chacun des triangles $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$.

Solution du précédent exercice d’antan n°5

Nous publions la solution de Raymond Raynaud de Digne.