506
Problèmes du BV 506 et solutions des 501-1, 501-3
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 506–1 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))
Soit f : \(\mathbb N \rightarrow \mathbb N\) telle que f (1) > 0 et pour tous \(m, n \in \mathbb N,\)
$$f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2$$
Trouver f .
Problème 506–2 (Michel Lafond (Dijon))
Montrer que l’on définit une bijection de \(\mathbb N^3\) dans \(\mathbb N\) en posant
$$f(a,b,c)=\frac{1}{6} \left[ (a+b+c)^3+3(a+b+c)^2+3(b+c)^2+2a+5b+11c) \right] $$
Problème 506–3 (George Gras (Le Bourg d’Oisans))
Soit p un nombre premier tel que \(p \equiv -1\) mod 8. On considère une solution \((x, y) \in \mathbb Z^2\)
de l’équation de Pell Fermat :
$$ x^2-py^2=1$$
Montrer que 8 divise x ou y. Dans le second cas (où 8 divise y), montrer que (x, y) est donné par une relation de la forme
$$x+y \sqrt p= \pm (u+v \sqrt p)^2$$
avec \(u, v \in \mathbb Z\).
Problème 506–4 (Fernand Canonico (Clermont-Ferrand))
Calculer la somme suivante :
$$\sum_\limits{n=0}^{+\infty} \frac{n !}{1 \times 3 \times 5 \times .... \times (2n+1)}$$
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 501–1 (Franck Gautier, Pérignat lès Sarliève)
Montrer que le produit de huit entiers consécutifs non nuls ne peut être un carré parfait.
Problème 501–3
Soit p un nombre premier. Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) , on note \(a_n\)
le nombre d’éléments d’ordre p du groupe symétrique \(S_n\). Calculer la série entière
$$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_n}{n !} x^n.$$
Réponse de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques) et Lazard George Vidiani (Fontaine Les Dijon)
<redacteur|auteur=500>