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Terminale — Mathématiques spécialité

Algèbre et géométrie

Véritable porte d’entrée sur l’infini, le raisonnement par récurrence a été formalisé comme principe fondamental de raisonnement par Pascal, et surtout par Peano et ses collaborateurs et avait été anticipé comme mode de démonstration par les mathématiciens anciens (nombres latéraux et diagonaux), médiévaux (al-Karaji, As-Samaw’al, Fibonacci) et renaissants (Maurolico).

Des propriétés arithmétiques du Triangle de Pascal étaient présentes dans les travaux combinatoires des mathématiques indiennes et chinoises. La combinatoire était un objet de prédilection des récréations mathématiques dès l’Antiquité et est encore présente chez des arithméticiens du XIXe siècle (Lucas, Delannoy, Laisant). Il est par ailleurs pertinent de souligner le développement récent des « mathématiques discrètes », motivé notamment par l’informatique et l’intelligence artificielle.

Les concepts sous-jacents à la notion de vecteur apparaissent comme modèles physiques dynamiques longtemps avant leur formalisation. On trouve un concept de force et la composition des forces chez Newton ; ces notions, comme celles de vitesse, sont présentes dans le calcul géométrique de Leibniz. Au XIX^e siècle, la notion de vecteur va émerger comme objet algébrique et géométrique, comme transformation ou comme outil de repérage. Hamilton construit les vecteurs par une approche algébrique.

Dans sa théorie des forces et des marées de 1839, Grassmann propose une approche géométrique qui étend à l’espace la notion de vecteur et lui associe des règles de calcul algébrique, notamment un « produit linéaire » utilisant la projection orthogonale et qui deviendra notre produit scalaire. À la fin du siècle, des auteurs proches des mathématiques comme de la physique (Maxwell, Gibbs, Heaviside ou Peano) dégagent les principes du calcul vectoriel à trois dimensions ou plus, lui donnant une dimension dynamique tout en établissant la structure d’espace vectoriel.

sur la récurrence :
Chapitre de Poitiers travaux interdisciplinaires, 1993
article repère IREM Dominique Gaud et Claude Chrétien

Analyse

Le calcul infinitésimal, qui contient les fonctions usuelles, le calcul différentiel et intégral ont historiquement précédé la notion de limite qui en donnera des fondements rigoureux.

On trouve des anticipations du calcul intégral chez Archimède (longueur du cercle, quadrature de la parabole, cubature des solides), Liu-Hui (volume d’un cylindre), Ibn al-Haytham (volume d’un paraboloïde) puis, bien plus tard, chez Grégoire de Saint-Vincent (méthode d’exhaustion) ou encore chez Galilée ou Cavalieri (méthode des indivisibles).

Les procédés par lesquels les mathématiciens ont construit et tabulé le logarithme et les fonctions trigonométriques illustrent les liens entre discret et continu et fournissent une source féconde d’activités. On peut mentionner les méthodes de Ptolémée et d’Al Kashi, la méthode de Briggs ou l’utilisation de développements en série. Ces travaux, dont certains ont été anticipés hors d’Europe, par exemple en Inde par l’école du Kerala, indiquent une perception intuitive claire des questions de convergence.

Le calcul différentiel s’est développé de concert avec la physique mathématique au XVII^e siècle. Parmi les initiateurs, Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le problème des aires (le calcul intégral) est le problème inverse de celui des tangentes (la dérivation) ; ce thème peut être abordé à partir des travaux sur la quadrature de l’hyperbole.

Les travaux de Newton et Leibniz révèlent deux visions et deux pratiques différentes du calcul infinitésimal. La justification de telles méthodes nécessitait une mise au point de la notion de limite. Des fondations solides sont proposées dans le Cours d’Analyse de Cauchy (1821, 1823), qui définit précisément la notion de limites et en fait le point de départ de l’analyse. Parallèlement, les résolutions d’équations différentielles, provenant de la mécanique ou des mathématiques elles-mêmes, se structurent notamment en lien avec les séries (Newton, Euler, D’Alembert, Lagrange, Cauchy, Clairaut, Riccati) et illustrent là encore les ponts entre le discret et le continu.

• Algorithmes de calculs chez Archimède
  Histoire et épistémologie des mathématiques : les mathématiques dans la culture d’une époque. Étude de « La mesure du cercle » p. 132-142
  • Auteure
    Martine Bühler
  • Document pour la classe
    Problème pour terminale scientifique permettant d’obtenir un algorithme d’approximation de π, à partir du calcul de périmètres de polygones inscrits dans un cercle et circonscrits au cercle, accompagné de commentaires et du texte d’Archimède.
  • Points du programme abordés
    Algorithmique, suites récurrentes, convergence.
  • Autre version
    Ce problème, rédigé de façon plus complète, avec également des commentaires plus fournis sur son utilisation en classe, se trouve également dans la brochure M. : A.T.H. n°79 de l’IREM de Paris pages 46 – 57
    La fiche publimath

• Introduction de la notion de logarithmes en terminale S
  fiche de travail
  par Louis-Marie Bonneval

• Introduction de la notion d’intégrales en terminale S
  fiche de travail
  par Louis-Marie Bonneval

• Conférence sur les équations différentielles
  par Dominique Tournès
  • De nombreuses méthodes de construction graphique des courbes intégrales des équations différentielles ont été imaginées depuis le XVII^e siècle, que ce soit par les fondateurs du calcul infinitésimal devant étudier et légitimer de nouvelles courbes transcendantes, ou par les ingénieurs de la période 1850 — 1950 confrontés aux énormes besoins en calcul engendrés par le développement des réseaux de routes, de voies ferrées, d’électricité et de téléphone.
  • Présentation de ces méthodes, leur origine historique et les instruments qui ont été conçus pour leur mise en œuvre, puis j’en montrerai des applications possibles à l’enseignement, telles que je les ai expérimentées dans des classes de lycée depuis plusieurs années.
  • Occasion d’une réflexion sur l’introduction aux équations différentielles par la méthode d’Euler, qui figure actuellement dans les programmes de première et de terminale S, et de quelques propositions personnelles pour des travaux pratiques à ce niveau dans le contexte de la nouvelle épreuve expérimentale du baccalauréat.

Probabilités

La parution de l’Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (1713), reprenant notamment d’anciens travaux de Huygens, marque une rupture dans l’histoire des probabilités. On y trouve la première étude de la distribution binomiale, introduite dans le cadre d’un tirage sans remise pour un modèle d’urne.

Un résultat majeur de cet ouvrage de Jacques Bernoulli est son « théorème d’or », la loi des grands nombres, qui relie fréquences et probabilité, valide le principe de l’échantillonnage et est le premier exemple de « théorème limite » en théorie des probabilités. Le mathématicien français Bienaymé (en 1853, publication en 1867) et le mathématicien russe Tchebychev (en 1867) démontrent l’inégalité qui porte leur nom, en parlant de fréquences d’échantillons plutôt que de variables aléatoires. Ils fournissent ainsi la possibilité d’une démonstration plus simple de la loi des grands nombres.

Au début du XIX^e siècle, la modélisation des erreurs de mesure va devenir centrale pour faire de la statistique une science à part entière. Lagrange et Laplace développent une approche probabiliste de la théorie des erreurs. Gauss (1809, 1821), après Legendre (1805), imagine une méthode des moindres carrés qu’il applique avec succès à la prédiction de la position d’un astéroïde. Il y propose de comprendre l’écart-type comme une « erreur moyenne à craindre ».

L’introduction de méthodes statistiques en sociologie est l’œuvre du mathématicien et astronome belge Quételet dans les années 1830. Il réfléchit à la distribution de données autour de la moyenne, ce qui sera approfondi notamment par l’Anglais Galton.

• Mnémosyne n°20 sur (entre autres) triangle de Pascal.

Algorithmique et programmation

[même item qu’en première]

Terminale — Mathématiques expertes

Doc sur le site de l’APMEP

En arithmétique, il faut renvoyer à nos pages sur l’arithmétique : https://irem.u-paris.fr/utilisation-de-lhistoire-dans-lenseignement-de-larithmetique et éventuellement au numéro 19 de Mnémsosyne.

Sur les nombres complexes, nous avons déjà des articles sur nos pages avec des expérimentations en classe, ainsi que des documents (type diaporama que nous pourrions mettre à disposition)

• Matériaux pour l’histoire des nombres complexes
  par Jean Itard
  • Une petite brochure très ancienne (1969), mais riche en renseignements et en textes originaux du 16^e et 17^e siècles. Téléchargeable sur le site de l’APMEP, ou à retrouver chez un ancien collègue ou dans les archives de votre Régionale.

le livre de la CIIEHM « Images, Imaginaires, Imaginations — Une perspective historique pour l’introduction de nombres complexes » (il faudrait indiquer aux collègues les chapitres les plus significatifs par rapport au programme)
La fiche Publimath

Martine Bühler nous parle aussi d’un livre par Colson sur les matrices, en lien avec les complexes, la similitude. (travail à faire)

Terminale — Mathématiques complémentaires

Sur les maths complémentaires, nous avons travaillé sur les thèmes « Approche historique des logarithmes » et « Calcul d’aires ». À priori, ce sera dans les actes de Toulouse (mais quand paraîtront-ils ?), mais on peut sans doute mettre en ligne les activités pour la classe avec un commentaire introductif : on réfléchit à faire un dossier histoire des maths et logarithmes sur notre page M. :A.T.H.