Brochure n^o 164 coéditée par VUIBERT et l’APMEP, janvier 2005.
172 p.
Prix public : 15 €, prix adhérent : 10 €.
ISBN Vuibert : 2 7117 7185 7, APMEP : 2-9128-4641-2.

Agrégation interne :

Première épreuve, 21 p. (corrigé de F. Bertrand [1] ). Les trois premières parties étudient l’existence d’une partie de \(\mathbb {C}\) ou de \(\mathbb {R} \) dédoublables relativement au groupe des isométries affines. La partie IV étudie un sous-groupe de \(SL_{2}(\mathbb {Z})\) engendré par deux matrices. La partie V étudie deux ensembles paradoxaux sous l’action de ce groupe.

Deuxième épreuve, 16 p. (corrigé de F. Bertrand). Ce texte d’analyse fonctionnelle étudie quelques propriétés des séries trigonométriques ; il se conclut par la résolution d’un problème de Dirichlet par une approche variationnelle.

1. Préliminaires : un lemme de Cantor, l’espace \(H\).
2. Pseudo-dérivée seconde au sens de Schwarz.
3. Application à un problème variationnel.

Agrégation externe :

Première épreuve, 13 p. Le but du problème est d’étudier le nombre de solutions modulo un entier naturel \(q\) d’une congruence quadratique matricielle

$$ ^{t}XSX \equiv T \pmod {q}$$

où \(S\) et \(T\) sont des matrices symétriques données à coefficients entiers. La partie A étudie les solutions modulo un nombre premier impair, la partie B, les matrices à coefficients dans \(\mathbb {Z}/q\mathbb{Z}\).

Deuxième épreuve, 17 p. : étude du comportement asymptotique de la \(n\)-ième itérée d’une fonction \(f\) .

1. Introduction.
2. Partie linéaire.
3. Linéarité et topologie.
4. Un exemple presque linéaire dans \(\mathbb{R}^ 2\) .
5. Différentiabilité des fonctions lipschitziennes.

Capes interne :

Premier problème, 17 p. : le thème est l’étude de la dérivation symétrique et de ses liens avec la dérivation usuelle. Ce texte est très gradué et plusieurs de ses questions peuvent faire l’objet d’exercices ou de recherches en Première et Terminale. La première partie étudie six exemples, la seconde quelques résultats généraux, la troisième l’exponentielle, la quatrième (dont le titre a été mal transcrit dans la solution) une caractérisation des polynômes de degré 1 ou 2.

Deuxième problème, 17 p. : très gradué il étudie des configurations géométriques, les premières accessibles dès le collège : cercle inscrit dans un losange, image par une affinité d’un cercle, étude de deux conditions de contact d’une droite avec un cercle, étude d’une condition de contact d’une droite avec une ellipse, ellipse inscrite dans un parallélogramme, lieu des points d’où l’on voit une ellipse suivant un angle droit.

Capes externe

Premier problème, 15 p. : étude de deux définitions classiques de la fonction exponentielle.

1. inégalité de Bernoulli, inégalité de Cauchy, calcul d’intégrale.
2. étude de la fonction exponentielle.
3. l’exponentielle \(\mathbb{R}\)-solution de \(y′ = y, y(0) = 1\).

Ce thème de la construction de l’exponentielle en Terminale et des avantages et inconvénients de chaque progression a déjà donné lieu à plusieurs articles dans le bulletin ; la solution détaillée du problème apporte une contribution intéressante au débat.

Deuxième problème, 17 p. : étude très détaillée (une cinquantaine d’items, une page de rappels et notations) de groupes de transformations de l’espace :

1. quelques propriétés des rotations de l’espace.
2. un sous-groupe de \(SO(3)\).
3. sous-ensembles de \(S^2\) .
4. équidécomposabilité.
5. ensembles paradoxaux.

Caplp2 interne

14 p.

Premier exercice (Didactique) : construction d’une boite en carton de volume maximum (classique). Il s’agit, non seulement de résoudre l’exercice mais de préciser les compétences attendues des élèves, les difficultés prévisibles en particulier pour l’introduction de la notion de dérivée en lien avec les sciences physiques. Le corrigé précise que cet exercice est noté sur 25.

Deuxième exercice  : introduction aux courbes de Bézier, bel exercice sur les barycentres noté sur 27.

Troisième exercice  : à une suite \((u_{n})\) de réels non nuls, on associe la suite définie par \(p_{n} = u_{1}u_{2}\ldots u_{n}\). On établit quelques résultats sur la convergence de \((p_{n})\). Chacun des trois exemples est utilisable dans l’introduction des suites. Noté sur 28.

Caplp2 externe

12 p.

Premier exercice  : calcul d’aires limitées par un arc de parabole et divers segments de droite. La solution aurait pu être éclairée par une figure.

Deuxième exercice : étude de l’évolution de l’utilisation de trois marques de dentifrice suivant un modèle markovien ; les calculs correspondants sur des matrices 2 × 2 sont détaillés pas à pas. L’exercice peut être utilisé tout au long du lycée dans ses aspects statistique et simulation.

Problème : problème d’analyse de construction standard à partir de la fonction \(arctan\).

1. étude de \(f(x) = \frac{arctan(x)}{x}\).
2. étude de \(F(x) = \frac {1}{x} \int_0^x f(t) dt\).
3. équation différentielle \(x^2 y′ + xy = arctan(x)\) (visite guidée)

Là encore quelques figures auraient été bienvenues.

Quelques remarques

1. La nécessité de reproduire certains textes par photographie, alors qu’ils étaient d’un format bien supérieur à celui de la brochure, conduit à des tailles de caractère différentes d’un sujet à l’autre, ce qui rend très approximative la mesure de la longueur par le nombre de pages.
2. Il faudrait s’interroger sur la qualité de l’évaluation que fournissent ces épreuves qui sont une spécificité bien française et qui stupéfient nos collègues américains quand on les leur montre.
   Bien entendu, on trouve des éléments de réponse dans les rapports mais il serait intéressant en particulier pour les candidats qui se présentent pour la première fois que le jury rende publiques les statistiques des réussites et des échecs item par item, ainsi que la subtile alchimie qui transmute un total de points résultant d’un barème (donné ici uniquement dans le corrigé du CAPLP2 interne) en une note sur 20.
3. Cette brochure vise deux publics :
   • les candidats aux concours qui peuvent acquérir à prix très réduit l’ensemble des textes corrigés publiés depuis 1997 (n^o 117, 127, 134, 135, 145, 157).
   • tous les collègues aimant chercher des problèmes de niveau divers et des idées d’exercices.

EN CONCLUSION

Une brochure très variée quant au niveau visé et aux thèmes abordés, utilisable à la fois pour se ressourcer et pour des applications en classe. Des solutions très claires et explicites permettant de parcourir certains textes dans un ordre différent de celui proposé aux candidats.

Merci à tous les auteurs et à tous ceux à l’APMEP et aux éditions Vuibert qui ont contribué à la rédaction et à la fabrication de ce beau volume.