Sujet National n° 1
Thème : ARITHMETIQUE
Série concernée : TOUTES SERIES
Enoncé
Partie A : Questions préliminaires
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.
- Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?
- Quelle est la plus grande valeur possible pour leur somme ?
Partie B : Les triangles magiques
On place tous les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases situées sur le pourtour d’un triangle, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Si les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur, on dit que le triangle est S-magique.
(C’est-à-dire si
$n_1+n_2+n_3+n_4=n_4+n_5+n_6+n_7=n_7+n_8+n_9+n_1=S$)
On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de $S$.
- Compléter le triangle suivant de sorte qu’il soit 20-magique, c’est-à-dire $S$ -magique de somme $S=20$.
- On considère un triangle $S$-magique et on appelle la somme des nombres placés sur les trois sommets.
- Prouver qu’on a $45+T=3S$.
- Prouver qu’on a $17 \leqslant S \leqslant 23$.
- Donner la liste des couples $(S,T)$ ainsi envisageables.
- Proposer un triangle $17$-magique.
- Prouver qu’il n’existe pas de triangle $18$-magique.
-
- Montrer que dans un triangle $19$-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
- Proposer un triangle $19$-magique.
- Prouver que, s’il existe un triangle $S$-magique, alors il existe aussi un triangle $(40-S)$-magique.
- Pour quelles valeurs de $S$ existe-t-il au moins un triangle $S$-magique ?