TP : Transformation du plan complexe (avec tableur)

Frédéric Laroche

Expérimentation informatique 1

On considère l’hyperbole équilatère H d’équation $y=\frac{1}{x}$, la rotation r de centre O, d’angle $-\frac{\pi}{4}$ et la transformation du plan complexe privé de l’origine : $z\mapsto z'=\frac{1}{\bar{z}}$. Les justifications de votre travail peuvent être apportées par tous les moyens à votre disposition…

Commentaire : ce tp a été fait en trois temps avec une TS de 32 élèves de niveau « normal ».
- classe entière 1 heure : explications sur le fonctionnement d’Excel, compléments mathématiques ;
- 1/2 groupe salle info 1 heure : manipulation d’Excel, tracé de courbes ;
- 1/2 groupe salle info 1 heure : réalisation du tp.

Hyperboles a. Tracer H dans la fenêtre . b. Tracer la courbe H’=f(H). Montrer que si M’(x’, y’) est un point de H’ alors où est une constante à déterminer. c. On pose pour tout t réel tel que cos t ne soit pas nul, . Quelle est la valeur de la constante k ?

Commentaire : le premier groupe a fait cette partie avec quelques difficultés. Tous ont utilisé Excel.

Lemniscate Soit la courbe , ensemble des points M(x, y) du plan tels que , . a. Par quelle transformation simple passe-t-on de H’ à ? b. Soit N d’affixe d’image par f : N’ d’affixe . Vérifier que . c. Tracer l’image par f de . On note L cette courbe qui est donc l’image de H par une succession de transformations. d. Soit T une tangente à H en un point quelconque. L’image de T par les transformations précédentes devient-elle une tangente à L ? e. Soit ABC un triangle constitué de trois points non alignés de , A’B’C’ son triangle image sur L. Comparer les angles de ces deux triangles. Constatation ? f. De même comparer les longueurs des côtés des deux triangles. Constatation ?

Commentaire : j’ai donné au deuxième groupe le fichier Excel avec la première partie et ils ont travaillé sur celle-ci. Globalement on s’aperçoit qu’il faut une formation beaucoup plus en amont… Les difficultés rencontrées étant essentiellement techniques.

Aires a. On veut calculer l’aire comprise entre H, l’axe (OX) les droites x=1 et x=5. A l’aide de ce que vous avez fait en 1. que suggérez-vous sans calculer d’intégrale. b. Même question pour la longueur de la portion de H compriss entre x=1 et x=5. c. Pouvez-vous donner une valeur approchée de la longueur totale de L ?

Commentaire : sera fait en classe ultérieurement.