par Josette Charles, Mostafa Mbekhta, Hervé Queffelec

Dunod, mai 2010
282 p. en 17 x 24, ISBN : 978-2-10-054514-8

Ce livre d’exercices est destiné aux étudiants en première année de master de mathématiques et aux candidats au CAPES, à l’agrégation ou à un doctorat.

Après un avant-propos où les auteurs expliquent leurs objectifs et la structure de l’ouvrage, une première partie joue le rôle d’index des notations et donne un résumé de cours sous forme de deux tableaux d’une page chacun précisant définitions, et propriétés.

Chacun des dix chapitres comporte une quinzaine d’énoncés d’exercices gradués puis leurs solutions que le lecteur est invité à ne lire qu’après avoir de lui-même bien avancé dans leur résolution :

1. Espaces normés
2. Théorèmes fondamentaux
3. Théorème de Hahn-Banach
4. Opérateurs continus entre espaces normés
5. Espace de Hilbert
6. Opérateurs continus entre espaces de Hilbert,
7. Opérateurs compacts
8. Opérateurs intégraux
9. Convergence faible et …
10. Algèbres de Banach.

L’ordre choisi introduit les opérateurs linéaires entre espaces normés, puis le cas particulier des espaces de Hilbert pour aborder dans le dernier chapitre les éléments d’une algèbre de Banach ou d’une C*-algèbre.

L’analyse fonctionnelle interagit avec de nombreux domaines des mathématiques : Convexité, Topologie, Intégration et théorie de la mesure, Fonctions holomorphes, Isométries, … de sorte que le lecteur, futur professeur ou enseignant confirmé, trouvera en faisant les exercices de quoi vérifier et maîtriser sa culture mathématique.

La source de certains exercices est indiquée dans trois pages de références, classiques pour permettre au lecteur de s’entrainer ou récentes, donnant des preuves originales.

Les connaissances requises sont relatives à la structure d’espace métrique, la notion de suite convergente, de sous espace et le langage usuel des opérateurs linéaires entre espaces vectoriels (noyau, image, valeurs et espaces propres, opérateurs auto-adjoints, …).

De nombreux exercices suscitent la réflexion et développent la recherche personnelle, ainsi le lecteur est-il invité à commencer par étudier quelques cas particuliers (par exemple la dimension finie) afin de voir si une réponse se généralise ou si au contraire, il faut en créer une nouvelle. on remarquera les énoncés qui ont plusieurs solutions ainsi que des exercices semblables dans différents chapitres.

D’une taille raisonnable, d’une présentation agréable et d’un style clair évitant les détails inutiles, l’ouvrage remplit bien les objectifs des auteurs et me semble exemplaire de ce que doit être un instrument de travail à ce niveau.