On considère un tétraèdre trirectangle en \(O\), dans lequel les deux arêtes \(OA\) et \(OB\) sont égales à \(a\) ; la troisième arête \(OC\) issue de \(O\) est égale à \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a\).

1. On désigne par \(d\) la distance \(OD\) de \(O\) à \(AB\) ; calculer \(d\) en fonction de \(a\). Déterminer l’angle que fait le plan \(CAB\) avec le plan \(OAB\), en calculant la tangente de cet angle.
2. On considère un point \(M\) sur \(OC\), entre \(O\) et \(C\), et on désigne par \(\alpha\) l’angle \(MDO\) ; calculer, en fonction de \(a\) et de \(\alpha\), la somme des 3 triangles \(MAB\), \(MAC\), \(MBC\). On désignera cette somme par \(S\).
3. Montrer que, entre \(O\) et \(C\), il existe un point \(M\) et un seul tel que \(S\) est égale à \(a^2\). On déterminera \(M\) en prenant pour inconnue \(\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}=t\).