Baccalauréat, Grenoble

Michel Fréchet

On considère un tétraèdre trirectangle en $O$, dans lequel les deux arêtes $OA$ et $OB$ sont égales à $a$ ; la troisième arête $OC$ issue de $O$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$.

  1. On désigne par $d$ la distance $OD$ de $O$ à $AB$ ; calculer $d$ en fonction de $a$. Déterminer l’angle que fait le plan $CAB$ avec le plan $OAB$, en calculant la tangente de cet angle.
  2. On considère un point $M$ sur $OC$, entre $O$ et $C$, et on désigne par $\alpha$ l’angle $MDO$ ; calculer, en fonction de $a$ et de $\alpha$, la somme des 3 triangles $MAB$, $MAC$, $MBC$. On désignera cette somme par $S$.
  3. Montrer que, entre $O$ et $C$, il existe un point $M$ et un seul tel que $S$ est égale à $a^2$. On déterminera $M$ en prenant pour inconnue $\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}=t$.