1921

 

 

  • Problèmes de Géométrie

    Exercice n° 1
    On donne deux points $A$ et $A’$ sur un cercle $(O)$, et on considère les cercles $(C)$ et $(C’)$ tangents au cercle $(O)$ en $A$ et $A’$ et tangents entre eux au point $M$. Lieu de leur point de contact $M$. Distinguer les parties du lieu d’après la nature des contacts. Lieu des centres d’homothéties des cercles $(C)$ et $(C’)$. Distinguer les parties du lieu d’après la nature de l’homothétie.
    Exercice n° 2
    Soit un triangle isocèle $ABC$ ($AB=BC$). Construire le foyer $F$ de la parabole (...)

  • Baccalauréat, Toulouse

    Une sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est tangente en \(A\) à un plan \((P)\). Dans ce plan, on trace de \(A\), comme centre, un cercle de rayon \(\rho\). On désigne par \((c)\) le cône ayant ce cercle pour base et le point \(O\) pour sommet.
    Un plan \((Q)\), perpendiculaire à \(OA\) en un point \(H\) situé entre \(O\) et \(A\), coupe la sphère et le cône suivant deux cerckles. Exprimer en fonction de \(R\), \(\rho\) et de \(AH=x\), la somme \(y\) des aires de ces deux cercles. Étudier la (...)

  • Baccalauréat, Strasbourg

    On considère une ligne brisée polygonale régulière \(ABCD\) de 3 côtés, ayant chacun pour longueur \(a\) : on appelle \(\alpha\), l’angle extérieur au sommet de cette ligne polygonale.
    Soit \(O\) le centre de la circonférence qui lui est circonscrite : évaluer en fonction de \(a\) et de \(\alpha\) :
    Le rayon \(OA\) de cette circonférence ;
    L’angle au centre total \(AOD\) ;
    La longueur \(AD\) et l’angle de \(AD\) avec \(AB\).
    En regardant \(AD\) comme la somme géométrique des trois vecteurs \(AB\), (...)

  • Baccalauréat, Rennes

    Sur un cercle de centre \(C\) et de rayon \(R\), on marque deux points diamétralement opposés \(O\) et \(A\). On mène par \(O\) une sécante \(OM\) faisant avec \(OA\) un angle égal à \(\varphi\), coupant le cercle en \(M\) et la tangente en \(A\) en \(P\). \’Evaluer en fonction de \(R\) et \(\varphi\) les volumes engendrés en tournant autour du diamètre \(OA\) par le triangle \(OCM\), par le secteur circulaire \(CAM\), par le triangle \(OAP\). \’Evaluer en fonction de l’angle \(\varphi\) le rapport (...)

  • Baccalauréat, Poitiers

    Représenter, par les méthodes de la géométrie cotée, un cube d’arête \(a=5\) unités, sachant qu’une de ses diagonales \(MN\) est parallèle au plan de projection et que le sommet le plus bas a pour cote zéro et se trouve dans le plan projetant \(MN\).
    Donner les cotes de tous les sommets.
    N. B. — On nomme diagonale d’un cube toute droite joignant deux sommets n’appartenant pas à une même (...)

  • Baccalauréat, Série C, Paris

    Dans un triangle \(ABC\) donné, \(BC=2a\) et la médiane \(AM=a\). On trace la hauteur \(AD\) et l’on pose \(\widehatAMB=2x\). Dire la valeur de l’angle \(BAC\) ; ensuite calculer \(AB\), \(AC\), \(AD\) en fonction de \(a\) et de \(x\). Déterminer \(x\) de façon que \(CD=3.BD\). On fait tourner la figure autour de la droite \(BC\). Soient \(S_1\) et \(S_2\) les aires engendrées par les deux segments \(AB\), \(AC\) et \(S\) l’aire d’une zone de hauteur égale à \(AD\) de la sphère de diamètre \(BC\). (...)

  • Baccalauréat, Paris, Série C.

    On donne un \textitangle droit \(XOY\), et à l’intérieur de cet angle un point \(A\), on désigne par à et \(b\) ses distances \(AQ\) et \(AP\) à \(OY\) et \(OX\). — Ce point \(A\) est le sommet d’un angle droit quelconque dont les côtés rencontrent \(OX\) en \(B\) et \(OY\) en \(C\). On pose \(OB=x\), calculer \(BC\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(x\). Pour quelle position de l’angle \(BAC\) la longueur de \(BC\) est-elle minimum ? Pour quelle valeur de \(x\) l’aire du triangle \(OBC\) est-elle (...)

  • Baccalauréat, Série C, Paris

    On donne deux circonférences de rayon \(R\) et \(2R\) tangentes intérieurement. On mène par \(A\), point de contact des deux circonférences, une droite faisant avec la ligne des centres \(OO’\) un angle aigu \(\alpha\). Elle coupe les circonférences aux points \(B\) et \(C\) qui se projettent en \(B’\) et \(C’\) sur la ligne des centres. On fait tourner la figure autour de \(OO’\). Calculer en fonction de \(R\) et de \(\alpha\) l’aire latérale, l’aire totale et le volume du tronc de cône engendré (...)

  • Baccalauréat, Nancy

    On considère le cône engendré par la révolution d’un triangle équilatéral \(SAB\) autour de sa hauteur \(SO\), et l’on désigne par \(R\) le rayon de la base de ce cône.
    Par un point \(C\) de \(AB\) tel que \(AC=x\) on mène un plan perpendiculaire au plan \(SAB\) et parallèle à \(SB\) ; il coupe le cercle de base suivant la corde \(MN\) et l’arête de \(SA\) en un point \(P\) ; on considère le triangle \(PMN\). Déterminer \(x\) de façon que l’angle \(MPN\) soit égal à \(\dfrac2\pi3\). Déterminer \(x\) de (...)

  • Baccalauréat, Montpellier

    $xy$ étant la ligne de terre, on donne deux points $A$ et $B$ par leurs projections $(a,a’)$, $(b,b’)$. On placera les données comme il est indiqué dans le croquis ci-après. $a$ est sur la ligne de terre ; $\beta a=4.aa’$ ; $\beta b=\beta b’=3.aa’$ ; et on pourra prendre $aa’=2$ cm. Quel est le lieu géométrique des points de l’espace équidistants des deux points $A$ et $B$ ? Définir ce lieu sur l’épure. Déterminer les points du lieu qui appartiennent aux plans de projection. On donne en outre une droite (...)

  • Baccalauréat, Lille

    Résoudre l’équation trigonométrique :
    $$\cos 2x=2a.\cos x$$
    où \(a\) est un nombre donné et \(x\) un angle inconnu. Discuter explicitement les solutions pour \(a=\dfrac12\).

  • Baccalauréat, Grenoble

    On considère un tétraèdre trirectangle en \(O\), dans lequel les deux arêtes \(OA\) et \(OB\) sont égales à \(a\) ; la troisième arête \(OC\) issue de \(O\) est égale à \(\dfrac2\sqrt23a\). On désigne par \(d\) la distance \(OD\) de \(O\) à \(AB\) ; calculer \(d\) en fonction de \(a\). Déterminer l’angle que fait le plan \(CAB\) avec le plan \(OAB\), en calculant la tangente de cet angle. On considère un point \(M\) sur \(OC\), entre \(O\) et \(C\), et on désigne par \(\alpha\) l’angle \(MDO\) ; (...)

  • Baccalauréat, Dijon

    Soit un quadrilataire (sic) \(ABCD\) dont deux angles consécutifs \(B\) et \(C\) sont droits. On pose \(AB=a\), \(BC=b\), \(CD=c\). Quelle relation doit-il exister entre \(a\), \(b\), \(c\) pour que les diagonales \(AC\) et \(BD\) soient perpendiculaires ? \(a\), \(b\), \(c\) ayant des valeurs données, quelconques, avec \(a>c\), calculer les angles et les côtés du triangle \(AED\), \(E\) étant le point de rencontre des diagonales. Calculer numériquement à l’aide des tables la valeur de l’angle (...)

  • Baccalauréat, Clermont

    Un triangle isocèle \(ABC\) a sa base \(BC\) horizontale et son plan fait un angle \(x\) avec un plan horizontal. Il se projète horizontalement suivant un triangle \(abc\), dont l’angle en \(a\) est égal à \(u\). Calculer la valeur \(v\) de l’angle \(A\) du triangle dans l’espace. Étant donnés \(u\) et \(v\), calculer \(x\) ; discuter.
    Les candidats pourront, sans obligation, s’aider de l’épure en supposant que \(BC\) soit (...)

  • Baccalauréat, Caen

    Dans un cercle donné de rayon \(R\), on mène une corde et le diamètre perpendiculaire ; soient \(O\) le centre du cercle, \(A\) l’une des extrémités de la corde, \(P\) le po.int d’intersection de la corde et du diamètre ; le triangle \(OPA\), tournant autour de \(OP\), engendre un cône, et posant \(\cos x=t\), on exprimera en fonction de \(R\) et de \(t\) le volume du cône ; puis, supposant variable l’angle de génération, on étudiera la variation de ce volume.
    Considérant enfin la valeur de \(t\) qui (...)

  • Baccalauréat, Bordeaux

    Soit un losange \(ABCD\) dont les côtés ont pour longueur 1. Deux mobiles \(P\) et \(Q\) se meuvent sur les deux côtés opposés \(CA\) et \(DB\) ; leurs mouvements sont uniformément variés. En adoptant comme sens positifs les sens \(CA\) et \(DB\), les mouvements sont ainsi définis : les accélérations sont l’une et l’autre égales à \(+2\) ; à l’origine des temps, \(P\) est en \(A\) et sa vitesse est \(+2\), \(Q\) est en \(B\) et sa vitesse est \(+1\). Soit \(M\) l’intersection de \(PQ\) avec \(CD\). (...)

  • Baccalauréat, Besançon, Série D

    Une droite \(AB\), de longueur \(a\), est divisée en trois parties égales par les points \(C\) et \(D\). Sur \(AB\) comme diamètre, on décrit une circonférence sur laquelle on prend un point quelconque \(M\). On mène \(MC=x\) et \(MD=y\). On demande : De prouver que : \(x^2+y^2=\dfrac59a^2\) De calculer \(x\) et \(y\) sachant que l’angle \(\widehatCMD\) est égal à \(\dfrac\pi8\).

  • Baccalauréat, Besançon, Série C

    Besançon, Série C
    Un point \(A\) se meut sur une ligne droite \(Ox\) et l’espace \(e\) parcouru sur cette droite à partir du point \(O\) et au bout du temps est donné par la formule :
    $$e=4t-3t^2.$$ On demande les expressions de la vitesse et de l’accélération. Au bout de quel temps le point \(A\) s’arrête-t-il pour rétrograder et après avoir parcouru quel espace ? Quelle est alors son accélération ? Au bout de quel temps le point \(A\) repasse-t-il au point \(O\) ? Quelle est alors sa vitesse et (...)

 

 

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