Baccalauréat, Strasbourg

Michel Fréchet

On considère une ligne brisée polygonale régulière $ABCD$ de 3 côtés, ayant chacun pour longueur $a$ : on appelle $\alpha$, l’angle extérieur au sommet de cette ligne polygonale.

Soit $O$ le centre de la circonférence qui lui est circonscrite : évaluer en fonction de $a$ et de $\alpha$ :
- Le rayon $OA$ de cette circonférence ;
- L’angle au centre total $AOD$ ;
- La longueur $AD$ et l’angle de $AD$ avec $AB$.

En regardant $AD$ comme la somme géométrique des trois vecteurs $AB$, $BC$, $CD$, écrire le théorème des projections en projetant la figure sur la droite $AB$.

Vérifier par le calcul direct l’identité trigonométrique ainsi obtenue.

Généraliser le problème précédent au cas où la ligne brisée comprend un nombre quelconque $n$ de côtés au lieu de trois seulement.

(Sur la figure, l’angle $\alpha$ est aigu).