Problèmes de Géométrie

Michel Fréchet

Exercice n° 1

On donne deux points $A$ et $A'$ sur un cercle $(O)$, et on considère les cercles $(C)$ et $(C')$ tangents au cercle $(O)$ en $A$ et $A'$ et tangents entre eux au point $M$.

  1. Lieu de leur point de contact $M$. Distinguer les parties du lieu d’après la nature des contacts.
  2. Lieu des centres d’homothéties des cercles $(C)$ et $(C')$. Distinguer les parties du lieu d’après la nature de l’homothétie.

Exercice n° 2

Soit un triangle isocèle $ABC$ ($AB=BC$). Construire le foyer $F$ de la parabole tangente en $A$ et $B$ aux côtés $AC$ et $BC$. Lieu du point $I$, projection du foyer $F$ sur $AC$, et enveloppe de la droite $FI$ quand $A$ et $B$ restant fixes, le sommet $C$ du triangle isocèle se déplace.

Exercice n° 3

Soit un cercle de diamètre $AA'$ ; une tangente au cercle coupe en $B$ et $B'$ les tangentes dont les points de contact sont $A$ et $A'$ ; lieu du point de rencontre $M$ des droites $AB'$ et $BA'$ lorsque la tangente $BB'$ varie.

Exercice n° 4

On donne deux cercles tangents en $A$ et un point $P$ sur la tangente commune en $A$. Construire le point $P'$, intersection des cercles qui passent par le point $P$ et touchent les cercles donnés. Lieu du point $P'$ lorsque le pôint $P$ se déplace sur la tangente.

Exercice n° 5

On considère trois points $A$, $B$, $C$, en ligne droite et les cercles décrits sur $AB$, $BC$ et $AC$ comme diamètres. Construire les cercles tangents à ces trois cercles. Alignements remarquables.

Exercice n° 6

Étant donné un triangle $ABC$, construire la conique tangente aux trois côtés et dont l’un des foyers est soit l’orthocentre, soit le centre du cercle inscrit.