On considère le cône engendré par la révolution d’un triangle équilatéral $SAB$ autour de sa hauteur $SO$, et l’on désigne par $R$ le rayon de la base de ce cône.

Par un point $C$ de $AB$ tel que $AC=x$ on mène un plan perpendiculaire au plan $SAB$ et parallèle à $SB$ ; il coupe le cercle de base suivant la corde $MN$ et l’arête de $SA$ en un point $P$ ; on considère le triangle $PMN$.

1. Déterminer $x$ de façon que l’angle $MPN$ soit égal à $\dfrac{2\pi}{3}$.
2. Déterminer $x$ de façon que la somme des carrés des trois côtés du triangle $MPN$ soit égale à une quantité donnée $a^2$ ; discuter.