On considère le cône engendré par la révolution d’un triangle équilatéral \(SAB\) autour de sa hauteur \(SO\), et l’on désigne par \(R\) le rayon de la base de ce cône.

Par un point \(C\) de \(AB\) tel que \(AC=x\) on mène un plan perpendiculaire au plan \(SAB\) et parallèle à \(SB\) ; il coupe le cercle de base suivant la corde \(MN\) et l’arête de \(SA\) en un point \(P\) ; on considère le triangle \(PMN\).

1. Déterminer \(x\) de façon que l’angle \(MPN\) soit égal à \(\dfrac{2\pi}{3}\).
2. Déterminer \(x\) de façon que la somme des carrés des trois côtés du triangle \(MPN\) soit égale à une quantité donnée \(a^2\) ; discuter.