Dans un triangle $ABC$ donné, $BC=2a$ et la médiane $AM=a$. On trace la hauteur $AD$ et l’on pose $\widehat{AMB}=2x$.

1. Dire la valeur de l’angle $BAC$ ; ensuite calculer $AB$, $AC$, $AD$ en fonction de $a$ et de $x$.
2. Déterminer $x$ de façon que $CD=3.BD$.
3. On fait tourner la figure autour de la droite $BC$. Soient $S_1$ et $S_2$ les aires engendrées par les deux segments $AB$, $AC$ et $S$ l’aire d’une zone de hauteur égale à $AD$ de la sphère de diamètre $BC$. Déterminer $x$ de façon que $S_1+\sqrt{3}S_2=\lambda S$, $\lambda$ désignant un nombre donné. — Discuter.

Application numérique. — Calculer $x$ lorsque $\lambda=\sqrt{2}$.

(Une figure est donnée avec l’angle $AMB$ aigu).