Dans un triangle \(ABC\) donné, \(BC=2a\) et la médiane \(AM=a\). On trace la hauteur \(AD\) et l’on pose \(\widehat{AMB}=2x\).

1. Dire la valeur de l’angle \(BAC\) ; ensuite calculer \(AB\), \(AC\), \(AD\) en fonction de \(a\) et de \(x\).
2. Déterminer \(x\) de façon que \(CD=3.BD\).
3. On fait tourner la figure autour de la droite \(BC\). Soient \(S_1\) et \(S_2\) les aires engendrées par les deux segments \(AB\), \(AC\) et \(S\) l’aire d’une zone de hauteur égale à \(AD\) de la sphère de diamètre \(BC\). Déterminer \(x\) de façon que \(S_1+\sqrt{3}S_2=\lambda S\), \(\lambda\) désignant un nombre donné. — Discuter.

Application numérique. — Calculer \(x\) lorsque \(\lambda=\sqrt{2}\).

(Une figure est donnée avec l’angle \(AMB\) aigu).