Baccalauréat, Paris, Série D

Michel Fréchet

On donne une pyramide à base carrée $SABCD$ dont l’arête $SA$ est perpendiculaire au plan de la base. On trace dans le plan de la base une droite $MN$ parallèle à la diagonale $BD$ et située entre le point $A$ et le point $O$ de rencontre des diagonales et par $MN$ on mène un plan parallèle à $SA$. — Soient $BD=2d$, $SA=3d$, $AL=x$.

La figure montre le point $I$ à l’intersection de $MN$ et de $OA$.

  1. Calculer $AI=x$ pour que l’aire de la section $MNPQR$ faite dans la pyramide par le plan passant par $MN$ soit égale à une quantité donnée $K^2$. Discuter.
  2. Le plan passant par $BD$, parallèle à $SA$, le plan de section maximum, divisent la pyramide en trois parties ; calculer les volumes de ces trois parties.