Arithmétique et Algèbre (2 heures).

Étant donnés les deux nombres \(u=1+\sqrt{2}\), \(v=1-\sqrt{2}\), on peut poser

$$ \begin{array}{ll} u^n &= a_n+b_n\sqrt{2}\\ v^n &= a_n-b_n\sqrt{2} \end{array}$$

où \(a_n\) et \(b_n\) sont des nombres entiers positifs.

1. Démontrer que, lorsque l’exposant \(n\) augmente indéfiniment, les entiers \(a_n\) et \(b_n\) augmentent indéfiniment, et le rapport \(\dfrac{a_n}{b_n}\) tend vers \(\sqrt{2}\). Démontrer que \(u^n\) diffère d’un entier d’un nombre qui tend vers zéro.
2. Démontrer que \(a^2_n-2b^2_n\) a une valeur absolue indépendante de \(n\) ; prouver que la fraction \(\dfrac{a_n}{b_n}\) est irréductible.
3. Calculer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) connaissant \(a_n\) et \(b_n\). Prouver que les fractions \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) et \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\) sont irréductibles. déterminer la limite de chaune de ces fractions quand \(n\) augmente indéfiniment.
4. Calculer les sommes :
   

   $$ \begin{array}{ll} s_n & = u+u^2+u^3+\cdots+u^n\\ s’_n &= a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\ s’’_n &= b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \end{array}$$

et chercher la limite vers laquelle tend \(\dfrac{s’_n}{s’’_n}\) quand \(n\) augmente indéfiniment.

5. Montrer qu’il existe deux nombres fixes \(\alpha\) et \(\beta\) tels que l’on ait

$$\begin{array}{ll} a_{n+2} &= \alpha a_{n+1}+\beta a_n\\ b_{n+2} &= \alpha b_{n+1}+\beta b_n \end{array}$$

et déterminer ces nombres. Calculer les racines de l’équation :

$$x^2=\alpha x+\beta$$

expliquer le résultat obtenu.

Géométrie (2 heures).

On pose trois points fixes \(A\), \(B\), \(C\) en ligne droite, le point \(B\) étant entre \(A\) et \(C\). Soit \((D)\) la perpendiculaire élevée en \(C\) à la droite \(ABC\).

On mène par \(A\) et \(B\) deux droites variables perpendiculaires entre elles, qui coupent respectivement la droite \((D)\) en \(M\) et \(N\).

1. Démontrer que les droites \(AN\) et \(BM\) sont perpendiculaires entre elles.
2. Démontrer qu’il existe deux points fixes \(I\) et \(J\) d’où l’on voit le segment \(MN\) sous un angle droit.
3. Trouver le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle \(AMN\), ainsi que le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle \(BMN\).
4. Soit \(P\) le point d’intersection des droites \(AM\) et \(BN\), et soit \(Q\) le point d’intersection des droites \(AN\) et \(BM\). démontrer que la droite \(PQ\) passe par un point fixe \(K\).
5. Trouver le lieu des points \(R\) et \(S\) d’intersection de la droite \(PQ\) avec la circonférence circonscrite au triangle \(AMN\).